Università degli studi dell'Insubria

COMPLEMENTI DI GEOMETRIA SUPERIORE B

A.A. di erogazione 2016/2017

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2015/2016)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
80
Dettaglio ore: 
Lezione (80 ore)

Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi

Verrà introdotto il concetto di varietà differenziale n-dimensionale astratta. Questo è lo spazio naturale sul quale ambientare la nozione di differenziabilità di una mappa. Il fibrato tangente e la corrispondente teoria dei campi vettoriali saranno studiati in dettaglio. Una larga parte del corso sarà dedicata alla costruzione di esempi concreti di varietà differenziali attraverso diversi strumenti che vanno dal teorema della funzione implicita alle azioni lisce di gruppi discreti. Vedremo come oggetti algebrici quali il gruppo lineare generale o il gruppo ortogonale possano essere dotati di una struttura di varietà differenziale. Contemporaneamente, verrà sviluppata la teoria delle sottovarietà che culminerà nel celebre Teorema di Whitney in accordo al quale ogni varietà astratta può essere realizzata come porzione liscia di uno spazio Euclideo di dimensione sufficientemente alta.

Ci si attende che gli studenti acquisiscano le nozioni fondamentali dalla teoria delle varietà astratte e delle sottovarietà con speciale attenzione alle diverse tecniche per la costruzione di esempi concreti. Ci si aspetta inoltre che gli studenti acquisiscano elementi di base della teoria dei campi vettoriali e dei loro flussi. Infine, attraverso compiti da svolgere a casa ed esercizi, gli studenti verranno guidati allo sviluppo di capacità personali nell'indagine astratta sopra proprietà geometrico-differenziali di base delle varietà.

Prerequisiti: 

Prerequisiti

Topologia degli insiemi di punti, calcolo in più variabili reali, qualche esperienza con le proprietà geometrico-differenziali delle superfici regolari nello spazio Euclideo 3-dimensionale.

Contenuti e programma del corso

  • Strutture differenziali su varietà topologiche
  • Mappe lisce e partizioni dell'unità
  • Spazio tangente e differenziale di una mappa liscia
  • Fibrato tangente e campi vettoriali
  • Rivestimenti lisci e azioni lisce di gruppi discreti
  • I teoremi della funzione inversa, della funzione implicita e del rango
  • Immersioni, sottovarietà regolari ed embedded
  • Il teorema di embedding di Whitney

Tipologia delle attività didattiche

Lezioni frontali ed esercizi da svolgere a casa.

Testi e materiale didattico

  • J. M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer.
  • W. M. Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Volume 120, Pure and Applied Mathematics. Academic Press.

Modalità di verifica dell’apprendimento

Esame scritto basato sugli esercizi svolti a casa, ed esame orale.

clicca sulla scheda dell'attività mutataria per vedere ulteriori informazioni, quali il docente e testi descrittivi.

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A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE