Università degli studi dell'Insubria

METODI MATEMATICI DELLA FISICA I

A.A. di erogazione 2013/2014

Laurea Magistrale in MATEMATICA (A.A. 2013/2014)
Docenti
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Affine/Integrativa
Settore disciplinare: 
FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI (FIS/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Il corso ha un duplice obbiettivo , che si rispecchia nei due moduli in cui esso e’ articolato. Il primo modulo si propone di completare ed integrare il corredo di conoscenze di Analisi che lo studente ha acquisito nei corsi di base di Calcolo, fornendo le nozioni indispensabili per comprendere e utilizzare i metodi di analisi complessa piu’ largamente sfruttati nella Fisica matematica, che prevedono il ricorso all’integrazione di contorno, agli sviluppi asintotici, e altri ; nonche’ di presentare in maniera organica la teoria delle equazioni differenziali ordinarie del 2ndo ordine, e le relative tecniche di soluzione mediante sviluppi in serie di potenze; cosi’ fornendo, fra l’altro, una introduzione alle Funzioni Speciali di piu’ frequente impiego. Il secondo modulo si propone di introdurre in maniera sintetica ma tuttavia logicamente coerente gli elementi di Analisi Funzionale sui quali e’ fondato il formalismo matematico della Meccanica quantistica. Accanto alla tradizionale teoria elementare degli spazi di Hilbert, questo modulo prevede una introduzione “efficace” alla teoria delle distribuzioni temperate. Pur senza rinunciare alla coerenza logica, viene minimizzato il ricorso ad aspetti astratti di teoria degli spazi vettoriali topologici, e viene invece posto l’accento sulle tecniche distribuzionali elementari di piu’ frequente utilizzo, quali la trasformata di Fourier, e le funzioni di Green. Ci si attende che gli studenti di questo corso acquisiscano una certa dimestichezza operativa con quegli strumenti matematici che , pur essendo da tempo comunemente utilizzati nella Meccanica quantistica, sono tuttavia abbastanza avanzati da eccedere i limiti dei corsi di base di analisi matematica ; tuttavia mantenendo un grado di consapevolezza della articolazione logica della teoria matematica sottostante, sufficiente a permetterne un uso critico, al di la’ della pura e semplice manipolazione formale.

Prerequisiti: 

Elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una o piu’ variabili reali; elementi di base della algebra lineare, e della teoria degli spazi vettoriali di dimensione finita.

Modulo 1: Funzioni di una variabile complessa. Richiami alla teoria generale degli spazi metrici. Funzioni Olomorfe, e condizioni di Cauchy-Riemann. Integrale curvilineo ; campi vettoriali conservativi. Teorema integrale di Cauchy, integrali del tipo di Cauchy, formula integrale di Cauchy. Funzioni armoniche, teorema di Liouville, principio del massimo modulo.Serie di funzioni olomorfe e teorema di Weierstrass. Serie di potenze. Sviluppo di Taylor; funzioni analitiche. Singolarita’ isolate, e loro classificazione; sviluppo di Laurent. Teorema dei residui e sue applicazioni. Teorema Fondamentale del prolungamento analitico; prolungamento analitico lungo un cammino; funzioni monodrome, e funzioni polidrome. Funzioni analitiche complete e supericie di Riemann. Calcolo di integrali curvilinei di funzioni polidrome. Integrale Euleriano di 2nda specie, e cenni alla funzione Gamma. Esistenza ed unicita’ della soluz di una equazione differenziale ordinaria del 2ndo ordine, nell’intorno di un punto ordinario. Prolungamento analitico delle soluzioni locali. Struttura dello spazio dele soluzioni. Soluzioni nell’intorno di un punto singolare; equazione di Eulero. Singolarita’ Fuchsiane. Equazione di Bessel; funzioni di Bessel di 1a e 2nda specie e loro proprieta’ principali. Equazioni totlamente Fuchsiane. Equazione e funzione Ipergeometrica.
Modulo 2: elementi di analisi Funzionale. Nozione generale di spazio funzionale. Spazi vettoriali topologici. Spazi normati e spazi prehilbertiani, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, identita’ del Parallelogrammo, identita’ di polarizzazione. Spazi di Banach e di Hilbert. Spazi di successioni. Introduzione sintetica alla teoria astratta della misura e della integrazione. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenza in media quadtatica, Spazi di funzioni di quadrato sommabile. Sottospazi di uno spazio di Hilbert; teorema delle proiezioni. Decomposizione ortogonale. Sistemi ortonormali e basi Hilbertiane. Serie di Fourier generalizzate. Spazi separabili. Isomorfismo Hilbertiano; operatori lineari e continui. Rappresentazione dei funzionali lineari e continui. Algebra degli operatori continui: operatori unitari, proiettori, operatore aggiunto; convergenze per serie di operatori. Serie di Fourier per funzioni periodiche; rapidita’ della loro convergenza. Serie trigonometriche. Integrale di Fourier; proprieta’ elementari , lemma di Riemann- Lebesgue. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwarz delle Test-funzioni a decrescenza rapida . La base di Hermite e le sue proprieta’ basilari. La trasformata di Fourier-Plancherel. Distribuzioni temperate come limite debole di funzioni di quadrato sommabile. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac. Derivate distribuzionali. La distribuzione Parte Principale P1/x. Potenziale di una carica puntiforme. Altre operazioni: cambiamento di variabile, prodotto, prodotto tensoriale. Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate; regole di calcolo; esempi espliciti. Convoluzione di distribuzioni. Trasformata di Hilbert. Soluzioni fondamentali di un operatore differenziale lineare. Soluzioni fondamentali, e il problema di Cauchy; funzioni di Green. Soluzioni fondamentali per la equazione di diffusione, la equazione di Schroedinger per la paricella libera, e la equazione delle onde.
Lezioni frontali durante le quali verranno presentati gli argomenti del corso, illustrati da esempi ed esercizi.

Dispense. Le lezioni del secondo modulo sono accessibili in streaming (in inglese) a http://w3.ateneo.uninsubria.it/streaming/MetodiMatematiciFisica.xml
Prova scritta alla fine del primo modulo. Prova finale scritta . Prova orale opzionale; prevede presentazione di argomento assegnato dal docente.

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A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2011/2012

Anno di corso: 1
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Anno di corso: 1
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Anno di corso: 2
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