Università degli studi dell'Insubria

GEOMETRIA SUPERIORE A

A.A. di erogazione 2013/2014

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2013/2014)
L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

L'obiettivo del corso e' quello di introdurre lo studente alle nozioni basilari della Geometria Riemanniana. Di particolare rilievo saranno la struttura metrica della varieta' in connessione con le sue geoditiche, e il legame che sussite tra il segno delle sue curvature (di Riemann e di Ricci) con la topologia dello spazio soggiacente. Ci si attende che gli studenti acquisicano familiarita' con questi concetti come fondamento di possibili studi futuri, ad esempio, nel campo dell'analisi geometrica. Attraverso compiti da svolgere a casa gli studenti saranno invitati, da un lato, ad eseguire calcoli espliciti sugli spazi modello della geometria Riemannaiana e, d'altro lato, a portare a termine, per loro conto, deduzioni piu' astratte sulle proprieta' geometriche degli spazi Riemanniani. Ci si aspetta che, in questo modo, gli studenti acquisiscano manualita' con le manipolazioni computazionali e che inizino ad esercitarsi nelle tecniche dimostrative di aspetti piu' avanzati e astratti della teoria.

Prerequisiti: 

E' consigliabile che lo studente padroneggi le principlai nozioni legate alle varieta' differenziali astratte e che abbia gia' fatto esperienza della nozione di curvatura per superfici nello spazio Euclideo tri-dimensionale.

* Varieta' Riemanniane, esistenza delle metriche Riemanniane
* Connessione di Levi-Civita, esistenza e unicita'
* Geodetiche e proprieta' minimizzante locale
* Struttura metrica delle varieta' Riemanniane
* Completezza geodetica e teorema di Hopf-Rinow
* La mappa esponenziale, il cut locus e il Lemma di Klingenberg
* Il tensore di curvatura di Riemann e sue simmetrie
* Teorema del confronto per l'Hessiana
* Curvatura non-positiva e teorema di Cartan-Hadamard
* Il tensore di curvatura di Ricci
* Teorema del confronto per il Laplaciano
* Curvatura di Ricci e volumi delle bolle metriche
* Curvatura di Ricci e topologia.
L'attivita' didattica sara' svolta secondo la modalita' classica delle lezioni frontali.

Materiale di base.
[1] M.P. Do Carmo, Riemannian Geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.
[2] J.M Lee, Riemannian Manifolds. Graduate text in Mathematics, 176. Springer-Verlag, New York, 1997.
Approfondimenti.
[1] S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[2] P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate text in Mathematics, 171. Springer, New York, 2006.
La verifica dell'apprendimento sara' svolta attraverso un esame orale durante il quale lo studente sara' chiamato, da un lato, a dimostrare che ha acquisito le principali nozioni del corso ed e' in grado di riprodurre le dimostrazioni dei teoremi fondamentali visti a lezione, d'altro lato dovra' provare che e' in grado di svolgere verifiche e calcoli su esempi concreti. Questa seconda abilita' sara' provata attraverso lo svolgimento di esercizi.
L'esame sara' svolto al termine del corso. Non sono previste prove in itinere.