CATEGORICAL LOGIC

A.A. di erogazione 2021/2022

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2021/2022)
L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
LOGICA MATEMATICA (MAT/01)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Questo corso fornisce un'introduzione alla logica categoriale finalizzata ad offrire allo studente un'estesa preparazione teorica in questo campo sia da un punto di vista teorico che a livello di metodologie per applicare queste tecniche in una grande varietà di contesti matematici differenti.

Al termine del corso, lo studente

- avrà appreso le nozioni e i risultati centrali della logica categoriale

- sarà familiare con l'interpretazione della logica nelle categorie, lo sviluppo di una teoria funtoriale dei modelli, e la teoria dei topoi classificatori

- conoscerà metodi per studiare le teorie matematiche da un punto di vista categoriale e topos-teoretico

- avrà acquisito tecniche per stabilire nuove e feconde connessioni tra campi diversi attraverso l'impiego di metodi logici, categoriali e topos-teoretici.

Laurea triennale in Matematica (o equivalente maturità matematica). Sebbene una certa familiarità con il linguaggio della teoria delle categorie sarebbe desiderabile, nessuna conoscenza pregressa di questi temi è richiesta. Il corso, infatti, presenterà tutti i preliminari rilevanti nel momento in cui essi si rendono necessari.

Lo studio dei modelli categoriali delle teorie matematiche è un tema di grande rilevanza per le sue applicazioni a diversi settori della matematica e dell’informatica. Esso permette lo sviluppo di una teoria funtoriale dei modelli e lo studio degli invarianti fondamentali delle teorie matematiche attraverso categorie ‘logiche’ ad esse associate, come i loro topoi classificatori.
Il corso fornirà un’introduzione alla logica categoriale del prim’ordine, dopo aver presentato i necessari preliminari di teoria delle categorie e dei topoi. Verranno presentate tecniche utili per studiarle una data teoria da una molteplicità di punti di vita diversi, e stabilire nuove connessioni tra ambiti diversi della matematica.
Particolare attenzione verrà dedicata allo studio dei topoi classificatori, ovvero dei topoi di Grothendieck da un punto di vista logico. Si mostrerà come proprietà essenziali di una teoria matematica si riflettano in proprietà del suo topos classificatore e, reciprocamente, come lo studio di invarianti dei topoi possa portare all’introduzione di nozioni e costruzioni logiche significative. Attraverso la discussione di numerosi esempi, si illustrerà inoltre il senso in cui i topoi di Grothendieck possano servire efficacemente da ‘ponti’ per trasferire conoscenze tra teorie matematiche differenti con una semantica comune.

PROGRAMMA:
Preliminari categoriali
L'interpretazione della logica nelle categorie
Categorie sintattiche
Siti e teorie
Topoi di Grothendieck
Morfismi geometrici
Morita-equivalenza tra teorie
I topoi classificatori e la tecnica dei 'ponti'
Teorie di tipo prefascio
Sottotopoi e quozienti
Quozienti di una teoria di tipo prefascio
Esempi ed applicazioni

Le lezioni frontali teoriche, svolte con l'ausilio di slides, saranno completate da sessioni di esercizi assegnati dalla docente nelle lezioni precedenti, in cui gli studenti che lo desiderano potranno esporre le loro soluzioni e discuterle con la docente.

Sono previste sei ore settimanali di lezione, di cui almeno una o due dedicate alla discussione di esercizi o problemi specifici.

Lo studente potrà scegliere tra due modalità d’esame alternative:

- Soluzioni (preparate a casa) a esercizi assegnati dalla docente e seminario su un argomento appropriato che estende i contenuti del corso (concordato col docente). La valutazione di questo seminario costituirà i due terzi del voto finale, mentre il terzo rimanente sarà determinate dalle soluzioni agli esercizi.

- Sostenere due esami parziali scritti (ciascuno dei quali consistente in domande di teoria ed esercizi), uno a circa a metà del corso e un altro poco dopo la sua fine.

F. Borceux, Handbook of categorical algebra, Vols. 1-2-3, Cambridge University Press, 1994

O. Caramello, Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic ‘bridges’, Oxford University Press, 2017

R. Goldblatt, Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Reprint dell'edizione del 1983, Dover.

P. T. Johnstone, Sketches of an Elephant: a topos theory compendium. Vols. 1-2, Oxford University Press, 2002

S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer, seconda edizione, 1997

S. Mac Lane, I. Moerdijk, Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory, corrected reprint of the 1992 edition, Universitext, Springer-Verlag, New York, 1994

M. Makkai e G. Reyes, First Order Categorical Logic, Springer, 1977

E. Riehl, Category theory in context, Cambridge University Press, 2016

Gli studenti del corso potranno raggiungere la docente nel suo ufficio nell'ora immediatamente successiva alla fine di ogni lezione per chiedere maggiori spiegazioni, chiarificazioni o suggerimenti per approfondimenti.

Gli studenti possono comunque prendere appuntamento con la Docente mandandole un'e-mail.

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A.A. 2020/2021

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE