ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

A.A. di erogazione 2021/2022
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2021/2022)
L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
9
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
80
Dettaglio ore: 
Lezione (56 ore), Esercitazione (24 ore)

Il corso si propone di introdurre i principali concetti e risultati dell'algebra degli spazi lineari di dimensione finita sui campi reale e complesso con applicazione, in ambito Euclideo, allo studio della geometria degli enti lineari e alla classificazione degli enti quadratici. A causa della sua natura astratta, in prima battuta l’algebra lineare può essere percepita come una disciplina particolarmente ostica. Le applicazioni alla geometria analitica, da un lato, e l'abbondanza di esempi concreti e di esercizi, d'altro lato, avranno lo scopo di conferire maggiore concretezza, di consentire uno sviluppo dell'intuizione e di abituare gli studenti ai ragionamenti peculiari di questa disciplina. Al termine del corso ci si aspetta che lə studentə sia in grado di:

1) definire gli enti principali e presentare i risultati basilari della disciplina;

2) applicare questi risultati su esempi concreti per dedurre le principali proprietà degli spazi lineari, delle applicazioni tra questi spazi, e degli enti geometrici lineari e quadratici;

3) condurre autonomamente dei semplici ragionamenti per concludere la validità di proprietà di carattere più astratto di generici spazi vettoriali, delle applicazioni tra questi spazi, e degli enti geometrici lineari e quadratici.

Non è richiesto alcun prerequisito

Il corso è essenzialmente diviso in tre parti tra loro mutuamente interconnesse.

A) Algebra degli enti lineari.

B) Algebra degli enti quadratici.

C) Elementi di geometria analitica Euclidea.

Più in dettaglio, il corso tratterà i seguenti argomenti:

- Spazi vettoriali e loro sottospazi

- Sistemi di generatori, indipendenza lineare e basi

- Operazioni sui sottospazi e formula di Grassmann

- Applicazioni lineari, nucleo ed immagine

- Dualità in spazi vettoriali finito-dimensionali

- Applicazioni lineari e matrici: il teorema di rappresentazione

- Cambiamento di base negli endomorfismi e matrici simili

- Sistemi di equazioni lineari

- Determinanti

- Forma canonica degli endomorfismi

- Spazi a prodotto interno e isometrie

- Endomorfismi autoaggiunti e normali: il teorema spettrale

- Forme quadratiche e loro classificazione

- Spazi affini, riferimenti affini e mappe affini

- Spazi affini euclidei

- Coniche nel piano euclideo

Le modalità didattiche dipendono fortemente da come evolverà l'emergenza coronavirus. Allo stato attuale delle cose, lo scenario più probabile è quello in cui la didattica sarà in modalità ibrida, con lezioni in presenza e in streaming.

Il metodo di insegnamento prevede:

1) lezioni frontali, di carattere teorico, nelle quali il docente presenta agli studenti le nozioni chiave del corso.

2) L'assegnazione di esercizi, il cui obiettivo è applicare il contenuto teorico visto a lezione. Gli esercizi potranno essere svolti individualmente o in piccoli gruppi.

3) Esercitazioni, di carattere pratico, durante le quali verranno presentate e discusse le soluzioni agli esercizi assegnati, idealmente da parte degli studenti, in ogni caso sotto la supervisione del docente.

4) Brevi quiz, attraverso la piattaforma e-learning, come uno strumento per monitorare in modo rapido e immediato l'apprendimento delle nozioni viste a lezione.

5) La creazione di un glossario del corso; si tratta di una lista ragionata, una sorta di Wikipedia, di concetti e oggetti che vengono introdotti a lezione. È redatta su base volontaria dagli studenti del corso, a beneficio loro e dei loro colleghi.

La verifica dell'apprendimento si articola su due livelli:

1) Un esame scritto, della durata di 3 ore, in cui gli studenti risolvono alcuni esercizi del livello di difficoltà paragonabile a quello degli esercizi assegnati durante il corso. Scopo dell'esame scritto è verificare che gli studenti siano in grado di applicare i risultati teorici astratti per dedurre proprietà di spazi vettoriali, mappe lineari ed enti geometrici in situazioni concrete. Il superamento dello scritto, che si ottiene con un punteggio minimo di 18/30, è necessario per essere ammessi all'orale. Il voto dell'esame scritto rimane valido per tutti gli appelli orali successivi, nell'arco dell'anno accademico. Saranno ammessi all'orale, con riserva, anche studenti che abbiano ottenuto un punteggio non inferiore a 16/30. Per formalizzare l'ammissione all'orale, a tali studenti verrà richiesto, nel corso di un colloquio orale preliminare, di difendere lo scritto.

2) Un esame orale tradizionale, durante il quale viene discusso il contenuto dello scritto e viene inoltre richiesto di spiegare le nozioni di base, di illustrare le dimostrazioni dei principali teoremi, e di analizzare esempi concreti.

Il voto finale dell'esame, in trentesimi, è determinato dell'esito dell'orale, che potrà confermare quello dello scritto, oppure aumentarlo, o ancora causare la bocciatura, qualora la preparazione mostrata non dovesse essere ritenuta sufficiente.

Il corso di Algebra Lineare e Geometria è molto standard. Seguendo le lezioni frontali, gli studenti potranno usare un qualsiasi testo.
Nel concreto, si farà riferimento ai seguenti libri di testo:

1) Marco Abate, Geometria. McGraw-Hill (1996)

2) Michèle Audin, Geometry. Springer (2003)

3) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right. 3rd edition. Springer (2015)

Ulteriore materiale didattico:

1) Appunti delle lezioni
2) Esercizi da svolgere a casa

Per il ricevimento, si consiglia di contattare il docente all’indirizzo email, giovanni.bazzoni@uninsubria.it

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A.A. 2020/2021

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

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Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

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Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: