TOPOS THEORY

A.A. di erogazione 2020/2021

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2020/2021)
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
LOGICA MATEMATICA (MAT/01)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Questo corso fornisce un'introduzione alla teoria dei topoi finalizzata ad offrire allo studente un'estesa preparazione teorica in questo campo sia da un punto di vista teorico che a livello di metodologie per applicare efficacemente i topoi in una grande varietà di contesti matematici differenti.

Al termine del corso, lo studente

- avrà appreso le nozioni e i risultati centrali della teoria dei topoi

- sarà familiare con le basi dell'interpretazione della logica nelle categorie

- conoscerà metodi per studiare le teorie matematiche da un punto di vista topos-teoretico

- avrà acquisito tecniche per estrarre nuove informazioni da corrispondenze, dualità o equivalenze e per stabilire nuove e feconde connessioni tra campi diversi.

Laurea triennale in Matematica (o equivalente maturità matematica). Sebbene una certa familiarità con il linguaggio della teoria delle categorie e le basi della logica del prim’ordine sarebbe desiderabile, nessuna conoscenza pregressa di questi temi è richiesta. Il corso, infatti, presenterà tutti i preliminari rilevanti nel momento in cui essi si rendono necessari.

La teoria dei topoi può essere vista come un tema unificante all'interno della matematica, di grande rilevanza come quadro teorico per investigare sistematicamente le relazioni tra teorie matematiche differenti e studiarle da una molteplicità di punti di vita diversi. I suoi metodi sono trasversali ai vari settori e complementari alle loro tecniche specialistiche. A dispetto della loro generalità, le tecniche topos-teoretiche sono suscettibili di generare risultati che sarebbero difficilmente ottenibili altrimenti, e di stabilire profonde connessioni che permettono efficaci trasferimenti di conoscenze tra contesti differenti.

Il ruolo dei topoi come spazi unificanti è intimamente legato alla loro natura multiforme; ad esempio, un topos può essere visto come uno spazio generalizzato, come un universo matematico ma anche come una teoria modulo una certa nozione di equivalenza.

I topoi sono stati originariamente introdotti da Alexandre Grothendieck all'inizio degli anni '60, al fine di offrire un fondamento matematico per le ‘esotiche’ teorie coomologiche necessarie in geometria algebrica. Ogni spazio topologico dà luogo ad un topos, e ogni topos nel senso di Grothendieck può essere visto come uno ‘spazio generalizzato’.

Alla fine della stessa decade, William Lawvere e Myles Tierney hanno realizzato che il concetto di topos di Grothendieck offriva anche una nozione astratta di universo matematico in cui si possono riprodurre la maggior parte delle familiari costruzioni insiemistiche, ma che, grazie alla ‘flessibilità’ inerente alla nozione di topos, può anche essere convenientemente sfruttata per costruire ‘nuovi mondi matematici’ con proprietà particolari.

Alcuni anni dopo, la teoria dei topoi classificatori ha aggiunto un ulteriore fondamentale punto di vista ai precedenti: un topos può essere visto non solo come uno spazio generalizzato o come un universo matematico, ma anche come un certo tipo di teoria del prim’ordine (considerata a meno di una nozione generale di equivalenza di teorie).

Il corso inizierà col presentare le conoscenze basilari rilevanti di logica e categorie e illustrerà ampiamente queste differenti prospettive sulla nozione di topos.

PROGRAMMA:

Preliminari categoriali
Fasci su uno spazio topologico
Fasci su un sito
Proprietà basilari dei topoi di Grothendieck
Operatori locali
Morfismi geometrici
Funtori piatti
Morfismi tra siti
L'interpretazione della logica nelle categorie
I topoi classificatori e la tecnica dei 'ponti'

Le lezioni frontali teoriche, svolte alla lavagna (con l'ausilio di slides), saranno completate da sessioni di esercizi assegnati dalla docente nelle lezioni precedenti, in cui gli studenti che lo desiderano potranno esporre le loro soluzioni alla lavagna e discuterle con la docente.

Sono previste sei ore settimanali di lezione, di cui almeno una o due dedicate alla discussione di esercizi o problemi specifici.

Lo studente potrà scegliere tra due modalità d’esame alternative:

- Soluzioni (preparate a casa) a esercizi assegnati dalla docente e seminario su un argomento appropriato che estende i contenuti del corso (concordato col docente). La valutazione di questo seminario costituirà i due terzi del voto finale, mentre il terzo rimanente sarà determinate dalle soluzioni agli esercizi.

- Sostenere due esami parziali scritti (ciascuno dei quali consistente in domande di teoria ed esercizi), uno a circa a metà del corso e un altro poco dopo la sua fine.

F. Borceux, Handbook of categorical algebra, Vols. 1-2-3, Cambridge University Press, 1994

O. Caramello, Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic ‘bridges’, Oxford University Press, 2017

R. Goldblatt, Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Reprint dell'edizione del 1983, Dover.

P. T. Johnstone, Sketches of an Elephant: a topos theory compendium. Vols. 1-2, Oxford University Press, 2002

S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer, seconda edizione, 1997

S. Mac Lane, I. Moerdijk, Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory, corrected reprint of the 1992 edition, Universitext, Springer-Verlag, New York, 1994

E. Riehl, Category theory in context, Cambridge University Press, 2016

Gli studenti del corso potranno raggiungere la docente nel suo ufficio nell'ora immediatamente successiva alla fine di ogni lezione per chiedere maggiori spiegazioni, chiarificazioni o suggerimenti per approfondimenti.

Gli studenti possono comunque prendere appuntamento con la Docente mandandole un'e-mail.

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A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE