NUMERICAL SOLUTIONS OF PDE'S B

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento opzionale

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2020/2021)

Docenti

L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ANALISI NUMERICA (MAT/08)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

I due corsi di Soluzione Numerica di PDE (A e B) introducono gli studenti alle tecniche numeriche per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali, che sono la base della gran parte dei modelli matematici. In particolare nel corso B si studia la tecnica di discretizzazione con gli elementi finiti e le sue applicazioni nel contesto delle equazioni ellittiche e paraboliche.
Le equazioni ellittiche sono presenti in molti modelli fisici, come le equazioni per il potenziale elettrostatico o gravitazionale, i problemi di elasticità nello studio della deformazione di strutture. La diffusione del calore è invece un tipico problema parabolico. Nel corso si considereranno anche problemi di convezione-diffusione, come le equazioni di Navier-Stokes per un fluido viscoso.

Al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di risolvere numericamente delle PDE ellittiche, paraboliche e le equazioni di Stokes con gli elementi finiti. Inoltre, dovrebbe essere in grado di utilizzare in modo critico e consapevole anche librerie e software basati sugli elementi finiti.

Il corso è rivolto agli studenti di Matematica, ma anche a studenti di altri corsi di laurea, con interessi nel calcolo scientifico. Sono richieste nozioni di base di Analisi I e II e nozioni sulla soluzione numerica di sistemi lineari algebrici. Sono utili, ma non strettamente necessarie, nozioni sugli Spazi di Sobolev. Per la parte di laboratorio è necessaria una conoscenza di base di un linguaggio di programmazione: useremo preferibilmente Matlab, ma ogni studente è libero di utilizzare altri linguaggi, come C o C++.

1. Introduzione agli elementi finiti: il problema del filo elastico come problema modello. Formulazione astratta del metodo di Galerkin e lemma di Lax-Milgram, stime di convergenza, condizioni al bordo. Metodi P1 e metodi di ordine più elevato. Estensione al caso bidimensionale. Spazi FEM.

2. Applicazione a diversi problemi ellittici: convezione-diffusione, la trave elastica e la membrana elastica. Il problema di Stokes. Perdita di coercività e la condizione Inf-Sup. Viscosità artificiale e metodo SUPG.

3. Problemi parabolici. Convezione-diffusione del calore in 1D. Semidiscretizzazione nello spazio. Discretizzazione nello spazio e nel tempo. Condizioni al contorno

4. Il metodo Discontinuous Galerkin. Tecniche di stabilizzazione.

Le lezioni (2/3 delle ore) sono frontali, prevalentemente con spiegazioni alla lavagna. Esercizi di supporto allo studio individuale saranno regolarmente assegnati e discussi in aula su richiesta.
Un terzo delle ore è dedicato ad esercitazioni in laboratorio informatico volte ad insegnare come implementare, verificare ed utilizzare algoritmi basati sugli elementi finiti (verranno usati come esempio alcuni degli algoritmi spiegati durante le lezioni teoriche).

L’esame è orale, ed è composto di due parti, che vengono sostenute nello stesso giorno.
Nella prima parte, lo studente discute un progetto computazionale concordato col docente e consegnato assieme al codice sorgente sviluppato. Il progetto dovrà essere l’applicazione di tecniche studiate durante il corso ad un caso concreto. Sarà oggetto di valutazione la rispondenza del software prodotto rispetto al problema scelto, la qualità dello stesso, la presentazione e la discussione critica dei risultati ottenuti.
La seconda parte è un esame orale in cui verrà valutata la conoscenza degli argomenti svolti durante il corso, l’uso corretto del lessico specialistico, la capacità di ragionamento critico e di collegamento fra i diversi argomenti studiati.

“Numerical solution of partial differential equations by the finite element method”, di Claes Johnson, Dover.

“Theory and Practice of Finite Element Methods” di Ern e Guermond, Springer.
“The Mathematical Theory of Finite Element Methods” di Brenner e Scott, Springer.
Inoltre, specialmente per le attività in laboratorio, sarà disponibile altro materiale distribuito mediante il sito e-learning del corso.

Il ricevimento è su appuntamento, e può essere fissato sia via email che alla fine delle lezioni

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE