ALGEBRA 1

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2020/2021)

Docenti

Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
72
Dettaglio ore: 
Lezione (48 ore), Esercitazione (24 ore)

OBIETTIVI FORMATIVI
L'obiettivo dell’insegnamento è fornire agli studenti la giustificazione rigorosa di risultati dell’aritmetica elementare già noti dalle scuole superiori e di introdurli allo studio delle strutture algebriche astratte.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
Utilizzare gli algoritmi principali dell’aritmetica dei numeri naturali e spiegare perché portano al risultato atteso.
Utilizzare con proprietà il linguaggio matematico e presentare dimostrazioni in maniera coerente e consapevole.
Stabilire se un’operazione definita in un insieme soddisfi o meno certe proprietà.
Riconoscere se una struttura algebrica data soddisfi certi assiomi.

Normali conoscenze di matematica della scuola superiore.

Insiemi
Richiami. Corrispondenze. Applicazioni tra insiemi. Composizione di applicazione. Associatività. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Inversa di un'applicazione biiettiva. Relazioni in un insieme. Relazione di equivalenza. Relazione d'ordine parziale e totale.

Numeri Interi.
Proprietà delle operazioni negli interi. Ordinamento negli interi. Principio di induzione. Divisione tra numeri interi. Massimo comun divisore. Identità di Bezout. Caratterizzazione dei primi. Algoritmo Euclideo. Fattorizzazione in primi. Esistenza di infiniti numeri primi. Congruenze modulo un intero. Classi di resto e operazioni. L'anello delle classi di resto. Legge di cancellazione e elementi invertibili modulo n. Congruenze con incognite. Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero.

Gruppi
Operazioni binarie. Monoidi. Gruppi. Monoidi e gruppi commutativi. Classi di resto. Trasformazioni del piano. Gruppo trirettangolo. Gruppo diedrale. Leggi di cancellazione. Tavole moltiplicative. Sottogruppi. Criteri per sottogruppi. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da sottoinsieme. Elementi del sottogruppo generato da un insieme.
Azioni di un gruppo su un insieme. Azione banale. Azioni transitive. Orbite. Coniugio. Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Laterali destri e sinistri. Indice di un sottogruppo. Stabilizzatori e orbite di elementi. Centralizzanti. Centro di gruppi di ordine potenza di p. Classificazione dei gruppi di ordine un quadrato di una potenza di un primo.
Gruppo simmetrico. Cicli nel gruppo simmetrico. Cicli disgiunti. Coniugati nel gruppo simmetrico. Scambi nel gruppo di permutazioni. Parità di una permutazione. Teorema di Cayley. Gruppo alterno. Numero degli elementi di dato ordine in un gruppo ciclico.
Potenze di un elemento in un gruppo e in un monoide. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Sottogruppi di un gruppo ciclico. Reciproca posizione dei sottogruppi di un gruppo ciclico.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Quoziente sul centro.
Omomorfismi tra monoidi e gruppi. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Teoremi di isomorfismo. Omomorfismi da gruppi ciclici. Endomorfismi di gruppi ciclici. Immagini dirette e inverse di sottogruppi e sottogruppi normali.
Prodotto di sottogruppi. Prodotto di sottogruppi normali. Prodotto diretto interno ed esterno di gruppi. Prodotto diretto di gruppi ciclici.

Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, tuttavia la presenza in aula è estremamente utile, dato che la partecipazione attiva alle lezioni facilita il processo di apprendimento.
Le lezioni si svolgono alla lavagna. La presentazione degli argomenti è sempre accompagnata da esercizi finalizzati alla comprensione e all’applicazione delle nozioni e dei risultati presentati. La soluzione degli esercizi è presentata talvolta immediatamente e talvolta in una lezione successiva in modo che gli studenti possano provare a risolvere l’esercizio in autonomia. Durante il corso (soprattutto verso il termine) verranno proposte anche sedute di esercizi di ricapitolazione, per abituare gli studenti a scegliere il metodo e il percorso risolutivo più adatto e mettere in collegamento risultati presentati in momenti differenti del corso.
Spesso gli esercizi proposti sono tratti da temi d’esame passati: tutti i temi d’esame passati, nonché una selezione di altri esercizi sono disponibili con le relative soluzioni sul sito del corso.

Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Nello scritto è richiesta la capacità di verificare proprietà delle strutture algebriche, di determinare le forme canoniche di matrici quadrate e di giustificare tutte le affermazioni fatte. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.

Il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipendono dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
Una descrizione più dettagliata del regolamento d’esame può essere trovata sul sito del corso.

P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.

Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito del corso.

Il docente è disponibile per rispondere a brevi domande, subito prima o subito dopo ciascuna lezione. Per spiegazioni individuali più approfondite, il docente riceve gli studenti su appuntamento che può essere fissato o direttamente al termine di una lezione o per email.
Il sito del corso riporta varie informazioni utili e viene aggiornato regolarmente anche durante lo svolgimento del corso.
Per maggiori dettagli consultare il sito del corso.

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE