ANALISI MATEMATICA A

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento obbligatorio

 (A.A. 2020/2021)

Docenti

Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Settore disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Crediti: 
9
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
88
Dettaglio ore: 
Lezione (56 ore), Esercitazione (32 ore)

OBIETTIVI FORMATIVI

Acquisire conoscenze e strumenti di base nel calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale ed equazioni differenziali. In particolare si studiano serie numeriche, proprietà locali e globali delle funzioni reali di una variabile reale tra cui continuità, derivabilità, approssimabilità attraverso serie numeriche. Si introduce l'integrale di Riemann, il teorema fondamentale del calcolo e si sviluppano metodi di calcolo con applicazioni a problemi della determinazione di aree in senso proprio e improprio. Si affronta nel dettaglio lo studio delle funzioni integrali. Si introducono le equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine, lineari e non lineari a variabili separabili. Si introducono gli studi qualitativi per equazioni non integrabili elementarmente.

RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:

1. utilizzare in modo critico gli strumenti di base di Analisi Matematica per funzioni di una variabile;

2. applicare i risultati teorici acquisiti nelle discipline di ambito Fisico e Ingegneristico sia nella parte di modellistica che in quella più tecnica del calcolo;

3. studiare problemi con approccio sia qualitativo che quantitativo;

4. adattare e implementare metodi di approssimazione di base nelle applicazioni.

Aritmetica, geometria elementare, trigonometria.

Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione, disuguaglianza di Bernoulli, numeri interi e razionali, irrazionalità della radice di due, definizione assiomatica dei numeri reali. Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità, monotonia e limitatezza.
Successioni convergenti, divergenti e irregolari, teorema sulle successioni monotone, il numero di Nepero, operazioni con i limiti, permanenza del segno. Sottosuccessioni e unicità del limite, Teorema dei due carabinieri, esempi, infiniti ed infinitesimi, simboli di Landau, ordine di infinitesimo e infinito, teorema del confronto asintotico, esempi. Criterio del rapporto per successioni. Serie numeriche e condizione necessaria per la convergenza. la serie geometrica, serie di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz. Completamento dei razionali e potenza ad esponente reale. Richiami su funzioni elementari. Grafici di funzioni elementari e composizione di funzioni elementari, simmetrie, funzioni inverse e criteri d'invertibilità, trasformazioni nel piano e deduzione del grafico di composte di funzioni elementari soggette a trasformazioni elementari.
Limiti di funzioni: estensione dei risultati visti per le successioni, simboli di Landau, infinitesimi e infiniti. Continuità e proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri, teorema dio Weierstrass, teroema di Darboux, invertibilità delle funzioni continue, prolungamenti per continuità. Introduzione alle derivate: modelli ed esempi. Derivabilità e continuità, calcolo di derivate, derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa, massimi e minimi locali, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni a derviata nulla. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano e Lagrange).
Introduzione all'integrale di Riemann: somme di Riemann e interpretazione geometrica, integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale di Riemann. Il problema della ricerca di primitive. Metodi d'integrazione: elementari, per sostituzione, per parti. Teorema della media e Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali generalizzati e funzioni integrali.
Equazioni differenziali del primo ordine, dinamica di popolazione con attrito sociale, equazioni a variabili separabili, problema di Cauchy, equazioni lineari del prim'ordine e formula di variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali lineari del second'ordine, problemi di Cauchy, teorema di struttura delle soluzioni, equazioni omogenee a coefficienti costanti, variazione delle costanti arbitrarie e metodo di somiglianza per equazioni non omogenee, equazioni di Eulero.

Lezioni frontali in presenza e on-line via Microsoft Teams. Materiale didattico disponibile su e-learning.

Esame finale scritto (4 esercizi + 2 domande di teoria in 2 ore, domande aperte) e orale (su richiesta del docente). Il punteggio finale sarà composto dal punteggio totalizzato nella prova scritta valutata in trentesimi eventualmente mediato con il voto in trentesimi della prova orale.

Testo di riferimento: -M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA (calcolo infinitesimale e algebra lineare), Zanichelli.

Il Docente è a disposizione in aula prima e dopo le lezioni e nel suo ufficio presso la sede di villa Toeplitz previo appuntamento mediante richiesta via e-mail: daniele.cassani@uninsubria.it

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
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Anno di corso: 1
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A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE