GEOMETRIA 2

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2019/2020)

Docenti

Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

OBIETTIVI FORMATIVI.
L’insegnamento intende fornire una introduzione elementare a concetti della geometria differenziale attraverso lo sviluppo della teoria classica delle curve e delle superfici immerse nello spazio tridimensionale euclideo. Per sua natura, il corso consente di mettere all’opera quasi tutti gli strumenti matematici acquisiti dagli studenti fino a quel momento. I concetti introdotti in questo sono basilari per studi successivi di geometria e topologia algebrica, nonché di fisica matematica e fisica teorica.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1. comprendere le nozioni fondamentali della teoria delle superfici regolari nello spazio Euclideo tridimensionale,
2. illustrare sia gli aspetti locali che globali della loro geometria estrinseca
3. comprendere la teoria dell'integrazione sulle superfici, presentando alcune applicazioni geometriche
4. sviluppare, attraverso l'esercizio su esempi concreti, l'abilità di calcolo delle principali grandezze che descrivono la geometria locale di una superficie, quali curvatura media e curvatura Gaussiana.
5. Realizzare indagine astratta sulle superfici e sulle loro proprietà geometriche
6. discutere le nozioni fondamentali della teoria delle superfici regolari nello spazio Euclideo tridimensionale e di aspetti della loro geometria estrinseca sia locale che globale.
7. Comprendere le nozioni di base della teoria dell'integrazione sulle superfici
8. Calcolare le principali grandezze che descrivono la geometria locale di una superficie e sviluppiare abilità nell'indagine astratta sulle superfici Euclidee e sulle loro proprietà geometriche.

Algebra lineare. Elementi di topologia generale. Calcolo su funzioni in più variabili

l corso è diviso in due parti: la prima è dedicata alle curve differenziabili nel piano e fornisce una panoramica di concetti e risultati che si cercherà di estendere, nella seconda parte, alle superfici differenziabili dello spazio.
A) Curve differenziabili
1) Curve lisce nello spazio e loro lunghezza. Proprietà minimizzante dei segmenti di retta.
2) Curve regolari, retta tangente e parametro d'arco.
3) Curve nello spazio, triedro di Frenet, Curvatura con segno e formule di Frenet.
4) Teoremi fondamentali della geometria globale delle curve piane.
B) Varietà differenziabili astratte ed immerse in spazi euclidei.
1) Superfici regolari dello spazio Euclideo.
2) Superfici di livello.
3) Funzioni lisce tra superfici regolari.
4) Piano tangente e differenziale di una mappa liscia.
5) Campi vettoriali su superfici, loro curve integrali
5) Prima forma fondamentale ed isometrie.
6) Orientabilità e mappa di Gauss.
7) Seconda forma fondamentale e curvature.
8) Orientabilità ed Integrazione sulle superfici compatte.
9) Parallelismo e geodetiche.
9) Teorema locale di Gauss Bonnet.
10) Triangolazioni e teorema globale di Gauss Bonnet per superfici compatte orientabili.

Lista di problemi da svolgere a casa, con suggerimenti e tracce fornite durante le esercitazioni in classe. Ripartizione delle ore 56 lezione e 16 di esercitazioni. Le lezioni frontali e le esercitazioni saranno effettuate dal docente con uso di tablet, e le note di ogni lezione o esercitazione frontale, saranno alla fine di ogni settimana disponibili su e-learning.

In accordo agli obiettivi dell'insegnamento, la verifica dell'apprendimento verrà svolta attraverso:
- una prova scritta, nella quale lo studente deve mostrare di aver acquisito la capacità di verificare le proprietà principali delle superfici su esempi concreti, scelti dalla lista assegnata durante il corso. Lo scritto avrà durata due ore e consisterà in due problemi. Il voto dello scritto avrà un punteggio massimo di 16. Se si ottiene almeno 8 si può accedere all’orale.
- una prova orale, durante la quale lo studente dovrà mostrare di aver acquisito le principali nozioni e le dimostrazioni dei teoremi più rilevanti del corso. Il voto massimo dell’orale è 16. Il voto finale è dato dalla somma di voto di scritto e orale. Un voto maggiore di 30 comporta automaticamente la lode.

M. Abate, F. Tovena. Curve e Superfici. Springer 2006.
J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint. 1966

l docente è disponibile a incontrare gli studenti per chiarimenti o approfondimenti previo appuntamento per posta elettronica

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A.A. 2020/2021

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE