GEOMETRIA 1

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2019/2020)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

L'obiettivo di questo insegnamento è duplice. Da una parte si intende fornire agli studenti una buona conoscenza dei concetti e metodi di Topologia Generale, anche con riguardo allo studio delle proprietà principali degli spazi topologici quali connessione e compattezza. Dall’altra si intende introdurre lo studente alle basi della Topologia Algebrica, attraverso lo studio del concetto di omotopia e della nozione di gruppo fondamentale di uno spazio.

RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI:

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1. comprendere i concetti di continuità tra spazi topologici,
2. discutere la connessione, la compattezza e le proprietà di numerabilità di spazi topologici
3. riconoscere in casi concreti la validità delle principali proprietà topologiche di uno spazio e la continuità di mappe tra spazi
4. approfondire alcuni concetti basilari di Topologia Algebrica: in particolare omotopia, retrazione e tecniche di calcolo basilari per il gruppo fondamentale di uno spazio.

E' consigliabile aver seguito almeno (e sostenuto gli esami di): Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Analisi 1, Analisi 2.

Topologia generale:
Spazi topologici e applicazioni continue. Basi per uno spazio topologico. Topologia di sottospazio. Parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme e loro proprietà.
Numerabilità e assiomi di separazione.
Spazi metrici e topologie metrizzabili.
Topologia prodotto.
Topologia quoziente. Azioni di gruppo su uno spazio topologico. Spazi proiettivi.
Connessione e connessione per archi.
Compattezza.
Compattificazioni di spazi topologici.

Elementi di topologia algebrica:
Omotopia di funzioni e retratti di deformazione. Equivalenza omotopica di spazi topologici.
Gruppo fondamentale di uno spazio puntato.
Il gruppo fondamentale della circonferenza.
Una versione semplificata del teorema di Seifert Van Kampen. Applicazione: il gruppo fondamentale delle sfere

Lezioni teoriche (frontali) ed esercitazioni.

Delle sei ore settimanali, quattro vengono dedicate alle lezioni teoriche mentre due sono dedicate alla discussione di esercizi o temi più specifici. Queste sessioni di esercitazioni sono prevalentemente focalizzate sulla risoluzione di problemi e sull'approfondimento di argomenti particolari introdotti nelle lezioni teoriche; gli studenti hanno comunque la possibilità di chiedere chiarimenti o ulteriori spiegazioni in merito al contenuto delle lezioni teoriche. Al fine di promuovere la partecipazione attiva alle esercitazioni, si invitano gli studenti che lo desiderano a risolvere i problemi alla lavagna.

Esame scritto e orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da un certo numero di esercizi (tipicamente quattro, ciascuno dei quali articolato in diversi punti).
Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale.
Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 16/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.

Testi e materiale didattico:

1) M. Manetti, Topologia. Springer, 2008.
2) C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli, 2004 (l'ultima edizione).
Altre utili referenze sono:
- Sernesi, Geometria 2, Bollati-Boringhieri
- Munkres, Topology (in inglese).
- Steen and Seebach, Counterexamples in Topology, Springer-Verlag.

Ricevimento su appuntamento: mandare un'e-mail alla docente.

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A.A. 2020/2021

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE