ALGEBRA 2

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2019/2020)

Docenti

Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
70
Dettaglio ore: 
Lezione (52 ore), Esercitazione (18 ore)

OBIETTIVI FORMATIVI

L’obiettivo dell’insegnamento è quello di approfondire lo studio delle strutture algebriche astratte: in particolare si intende fornire allo studente competenze nell’ambito dei principali risultati nell'ambito della teoria degli anelli e della teoria dei moduli che permettano poi di applicare poi tali risultati allo studio delle forme canoniche di matrici e alla classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.

RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
verificare proprietà di strutture algebriche con più di un'operazione,
applicare i teoremi di Sylow per ottenere informazioni strutturali su gruppi finiti,
classificare i gruppi abeliani finitamente generati,
determinare le varie forme canoniche di una matrice quadrata.

Contenuto del corso di Algebra 1: teoria degli insiemi, teoria dei gruppi. Alcune nozioni basilari di algebra lineare: spazi vettoriali, matrici, basi, rappresentazione matriciale di omomorfismi, autovalori e autovettori.

Complementi di teoria dei gruppi Sottogruppi di p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Prodotto semidiretto di gruppi.

Anelli
Definizione di anello. Zero-divisori. Elementi invertibili. Anelli interi, domini di integrità, corpi, campi. Quaternioni.
Sottoanelli, omomorfismi di anelli. Campo dei quozienti di un dominio.
Teoremi di isomorfismo per anelli. Ideali e anelli quoziente.
Caratteristica di un anello. Campo minimo.
Anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Anello delle serie di potenze formali.
Proprietà universale dell'anello dei polinomi. Polinomi in più variabili.
Divisibilità in domini di integrità. Elementi associati.
Elementi irriducibili e primi. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione.
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
Domini euclidei. Algoritmo di Euclide. Divisione di polinomi. Zeri di polinomi.
Fattorizzazione di polinomi. Lemma di Gauss. Teorema: l'anello dei polinomi a coefficienti in un UFD è un UFD.
Estensioni di campi. Elementi algebrici. Polinomio minimo.
Elementi algebrici e trascendenti. Radice n-esime dell'unità.
Campi finiti.

Moduli
Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli sinistri e destri su un anello. Anello opposto. Ideali destri e sinistri. Sottomoduli. Omomorfismi di moduli. Prodotto diretto di moduli. Moduli indipendenti. Elementi linearmente indipendenti. Sottomodulo generato da elementi di un modulo. Moduli liberi su un anello. Basi. Annullatori di elementi e moduli. Condizioni per la ciclicità di un modulo.
Domini a ideali principali (PID). Teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su un PID. Gruppi abeliani finitamente generati. Forma canonica di Jordan. Polinomio minimo di una matrice. Teorema di Cayley-Hamilton.

Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, tuttavia la presenza in aula è estremamente utile, dato che la partecipazione attiva alle lezioni facilita il processo di apprendimento.

Le lezioni si svolgono alla lavagna. La presentazione degli argomenti è sempre accompagnata da esercizi finalizzati alla comprensione e all’applicazione delle nozioni e dei risultati presentati. La soluzione degli esercizi è presentata talvolta immediatamente e talvolta in una lezione successiva in modo che gli studenti possano provare a risolvere l’esercizio in autonomia. Durante il corso (soprattutto verso il termine) verranno proposte anche sedute di esercizi di ricapitolazione, per abituare gli studenti a scegliere il metodo e il percorso risolutivo più adatto e mettere in collegamento risultati presentati in momenti differenti del corso.

Spesso gli esercizi proposti sono tratti da temi d’esame passati: tutti i temi d’esame passati, nonché una selezione di altri esercizi sono disponibili con le relative soluzioni sul sito del corso.

Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Nello scritto è richiesta la capacità di verificare proprietà delle strutture algebriche, di determinare le forme canoniche di matrici quadrate e di giustificare tutte le affermazioni fatte. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.

Il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipendono dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
Una descrizione più dettagliata del regolamento d’esame può essere trovata sul sito del corso.

P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.

Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito del corso.

Il docente è disponibile per rispondere a brevi domande, subito prima o subito dopo ciascuna lezione. Per spiegazioni individuali più approfondite, il docente riceve gli studenti su appuntamento che può essere fissato o direttamente al termine di una lezione o per email.
Il sito del corso riporta varie informazioni utili e viene aggiornato regolarmente anche durante lo svolgimento del corso.
Per maggiori dettagli consultare il sito del corso.

Cerchi il programma? Potrebbe non essere ancora stato caricato o riferirsi ad insegnamenti che verranno erogati in futuro.
Seleziona l‘anno in cui ti sei immatricolato e troverai le informazioni relative all'insegnamento del tuo piano di studio.

A.A. 2020/2021

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE