ANALISI NUMERICA
- Scheda dell'insegnamento
- Obiettivi formativi
- Prerequisiti
- Contenuti
- Metodi didattici
- Verifica dell'apprendimento
- Testi
- Altre informazioni
OBIETTIVI FORMATIVI
Questo insegnamento concorre ai più ampi obiettivi formativi del CdS in Matematica, in quanto si propone di fornire allo studente le conoscenze di analisi critica degli algoritmi e della loro complessità e stabilità numerica.
L’insegnamento mira inoltre a educare lo studente alla dimostrazione costruttiva ed alla visione algoritmica della matematica a partire dall’Algebra Lineare e dalla Teoria delle Matrici.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1. effettuare una analisi a priori di sistemi lineari per verificare la invertibilità o forte nonsingolarità o definitezza in segno della matrice dei coefficienti
2. sulla scorta del punto 1., scegliere la tecnica di risoluzione numerica più efficace, cioè meno costosa in termini di numero di operazioni
3. effettuare analisi di rango di matrici di grandi dimensioni
4. scegliere la tecnica più appropriata per il calcolo di autovalori e autovettori, anche in relazione a problemi di grandissime dimensioni quali il PageRanking di Google
Programmazione, Lab. Matematica Computazionale, Algebra Lineare, Analisi.
Teoria delle matrici. Matrici unitarie, Hermitiane, definite positive, normali.
Forme normali: Schur e Jordan
Caratterizzazione spettrali di matrici unitarie, Hermitiane, definite positive, normali tramite Schur
Autovalori: localizzazione (Teoremi di Gerschgorin I, II, III) Norme vettoriali, norme matriciali, norme indotte (relazioni tra raggio spettrale e norme indotte)
Teorema di equivalenza topologica delle norme in ambito finito-dimensionale
Matrici elementari (caratterizzazione spettrale, inversa): di Gauss, di Householder
Risoluzione numerica di sistemi lineari: sistemi lineari in forma speciale (matrice unitaria, trangolare etc)
Condizionamento del problema e stabilità
Risoluzione numerica di sistemi lineari:
eliminazione di Gauss, pivoting, fattorizzazione QR
Algoritmo di Choleski per matrici definite positive
Formula di Shermann-Morrison-Woodbury (tecniche efficienti di aggiornamento)
Stabilità numerica degli algoritmi di risoluzione diretta
Metodi iterativi: teoria generale, metodi di Jacobi e Gauss-Seidel (analisi di convergenza)
Calcolo di autovalori tramite metodo delle potenze e varianti. Esempio del caso del Pageranking di Google
Valutazione di un polinomio in un punto. Interpolazione. Matrice di Vandermonde
Lezioni frontali ed esercitazioni
Le lezioni occupano i tre quarti delle ore previste per la didattica; un quarto è dedicato alle esercitazioni.
Le lezioni frontali sono sempre alla lavagna: si privilegerà anche una educazione alla flessibilità (non vi è mai un unico modo di dimostrare un asserto matematico)
Le esercitazioni affrontano spesso problemi ‘complessi’ che possono essere considerati complementi alla teoria ed un cenno di avviamento alla Ricerca
I temi più complessi sono affrontati dal docente; gli esercizi più standard sono affidati ad un esercitatore qualificato
Esame scritto e orale
Lo scritto rappresenta uno sbarramento per poter accedere alla prova orale, cioè senza un livello minimo non si può accedere all’orale:
- la prova scritta dura tre ore, essa contiene esercizi mai standard, lo studente può portare ogni tipo di materiale che ritiene
- tra gli esercizi sono nascosti singoli punti in cui è necessario avere immaginazione: tale punti mirano a scovare studenti con talento per la ricerca
- le risoluzioni degli esercizi possono essere ottenuti in vari modi: verrà valutato più positivamente chi trova una strada più veloce ed elegante (minimizzando la quantità di conti)
- la prova orale mira a controllare il livello di rigore matematico acquisito dallo studente
- la votazione finale parte da quello dello scritto aggiungendo al più 8 punti in funzione dell’esito della parte orale. Se la parte orale è molto negativa lo studente sarà invitato a presentarsi successivamente solo per la parte orale.
“Metodi Numerici per l’Algebra Lineare”, di D. Bini, M. Capovani e O. Menchi, Zanichelli
“Metodi Numerici ”, di R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani e O. Menchi, Zanichelli
Note del Professore
Ricevimento su appuntamento tramite email: stefano.serrac@uninsubria.it
Cerchi il programma? Potrebbe non essere ancora stato caricato o riferirsi ad insegnamenti che verranno erogati in futuro.
Seleziona l‘anno in cui ti sei immatricolato e troverai le informazioni relative all'insegnamento del tuo piano di studio.