Università degli studi dell'Insubria

MATEMATICA 1

A.A. di erogazione 2019/2020
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in CHIMICA E CHIMICA INDUSTRIALE
 (A.A. 2019/2020)

Docenti

LONGHI ELENA
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Settore disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Crediti: 
6
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
60
Dettaglio ore: 
Lezione (24 ore), Esercitazione (36 ore)

Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, allo studio di successioni e serie numeriche. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.
Lo studente conoscera’ gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare e di discutere il carattere di successioni e serie numeriche; di sapere enunciare e dimostrare i principali teoremi dell'Analisi Matematica. Infine lo studente sara' in grado di riconoscere autonomamente la validita' di ragionamenti matematici e di esprimersi in linguaggio matematico corretto.

Conoscenze di base di calcolo algebrico, di trigonometria e geometria analitica.

Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione, sommatorie e somma dei primi n numeri interi. Fattoriale e coefficiente binomiale. Formula del binomio di Newton. Numeri razionali, irrazionalità di radice di due. Ordinamento e proprietà del sup e definizione assiomatica dei numeri reali. Espansioni decimali.
Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità, monotonia e limitatezza.

Successioni reali e definizione epsilon-delta del limite. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Proprieta’ dei limiti: unicita’, monotonia, permanenza del segno, teorema dei 2 carabinieri. Aritmetica dei limiti e forme indeterminate. Limiti e sottosuccessioni . Limiti di successioni monotone e il numero di Nepero. Criterio del rapporto per successioni. Limiti notevoli.Successioni infinite e infinitesime. La gerarchia degli infiniti. I simboli di Landau.
Serie numeriche: convergenti, divergenti e irregolari. condizione necessaria per la convergenza. Ga serie geometrica, serie di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.
Richiami su funzioni elementari e i loro grafici. Trasformazioni, simmetrie e grafici.

Limiti di funzioni: definizione epsilon-delta e limiti successionali. Proprietà dei limiti e loro calcolo. Simboli di Landau, infinitesimi e infiniti.
Continuità: definizione epsilon-delta e continuità successionale. Proprietà aritmetiche. Continuità della funzione composta. Continuità delle funzioni definite a pezzi e prolungamenti per continuità. Classificazione delle discontinuità. Continuità di funzioni definite a pezzi e estensione per continuità. Proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri e dei valori intermedi e teorema di Weierstrass. Funzioni continue invertibili.
Introduzione alle derivate. Derivabilità e continuità, regole di derivazione: della somma del prodotto del quoziente e della funzione composta. Derivazione della funzione inversa.
Massimi e minimi locali, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano e Lagrange). Condizioni al secondo ordine per la determinazione della natura dei punti stazionari. Convessità. Studio dell’andamento del grafico di una funzione.

Introduzione all'integrale di Riemann: somme di Riemann e interpretazione geometrica, integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale di Riemann. Primitive e regole di ntegrazione: elementari, per sostituzione, per parti, integrazione delle funzioni razionali. Teorema della media e Teorema fondamentale del calcolo. Integrali generalizzati e funzioni integrali.

Lezioni frontali: 24 ore
Esercitazioni: 36 ore

L’esame e’ diviso in tre parti:
-Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifichera’ l’abilita’ degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
-Una seconda parte scritta che copre gli aspetti teorici del corso, consistente nell’enunciare e dimostrare alcuni dei teoremi visti nel corso, e che verifichera’ la comprensione della teoria soggiacente e la capacita’ di esprimersi in linguaggio matematico corretto;
-Un prova orale, che segue immediatamente la seconda prova scritta, che consiste nella discussione dei due scritti, dove si verifichera' la capacita' di esprimersi in linguaggio matematico corretto, e di riconoscere autonomamente la validita' di un ragionamento matematico.
Ciascuna parte verra’ valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sara’ la media aritmetica dei voti delle 3 parti. Per essere ammessi alla prova orale e’ necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 14/30 nella prima prova scritta.

Dispense di Analisi Matematica 1 disponibili alla pagina:
http://www.matapp.unimib.it/~demichele/libro.pdf
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di analisi matematica: 1 , Zanichelli

Ricevimento: per appuntamento (email al docente)

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Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

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