Università degli studi dell'Insubria

ALGEBRA E GEOMETRIA

A.A. di erogazione 2019/2020
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in INFORMATICA
 (A.A. 2019/2020)

Docenti

Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Sede: 
Varese - Università degli Studi dell'Insubria
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
9
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
72

Conoscenza e capacità di comprensione
Il corso si propone di fornire le conoscenze di base di argomenti elementari di matematica discreta e di algebra lineare, in particolare sui seguenti argomenti:
1. Conoscere e comprendere i fondamenti del linguaggio matematico: Insiemi, funzioni, equazioni d’equivalenza
2. Conoscere le proprietà fondamentali dei numeri naturali e interi
3. Conoscere e comprendere le strutture algebriche, le sottostrutture e gli omomorfismi
4. Sapere utilizzare ed effettuare operazioni sulle matrici e conoscere gli elementi di base della geometria analitica per la rappresentazione nel piano cartesiano di oggetti geometrici
5. Saper risolvere i sistemi lineari con diversi metodi, conoscere e comprendere le caratteristiche dei sistemi lineari attraverso l’utilizzo delle matrici
6. Conoscere le definizioni fondamentali degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari.
Tali conoscenze, oltre ad essere parte integrante del bagaglio culturale di uno studente di una laurea di carattere scientifico, sono rivolte a formare la capacità di astrazione dei problemi e delle informazioni attraverso la rappresentazione simbolica e matematica. Il corso affiancherà agli aspetti più teorici e metodologici della matematica, quegli aspetti più tecnici che permettono la risoluzione di esercizi e che rendono la matematica uno strumento di comprensione e di calcolo in vari settori applicativi.
Conoscenza e capacità di comprensione applicate
Durante il corso verrà data enfasi agli esempi legati ad applicazioni informatiche e soprattutto algoritmiche. In particolare si sottolineano aspetti relativi alla comprensione di proprietà di numeri naturali quali ricorsione e induzione. Una parte importante del corso sarà dedicata allo svolgimento di esercizi, sempre sottolineando che per riuscire a svolgere un esercizio c’è bisogno della totale comprensione dell’argomento trattato.
Autonomia di giudizio e abilità comunicative
I risultati di apprendimento attesi comprendono non solo la conoscenza dei termini e dei risultati tecnici, ma anche la capacità di saper affrontare una argomentazione matematica riuscendo a distinguere premesse e conclusioni. In questa ottica il linguaggio tecnico dello studente dovrà ampliarsi in modo da poter esprimere concetti matematici astratti.
Capacità di apprendere
Durante il corso verrà sottolineata l’importanza di un metodo di studio appropriato, in particolare cercando di favorire uno studio critico (come per esempio chiedersi sempre il perché di certe affermazioni matematiche), in modo da rendere autoevidenti allo studente le proprie lacune.

Non sono richieste conoscenze matematiche specifiche oltre quelle fornite da una qualsiasi scuola superiore.

L'acquisizione delle diverse conoscenze ed abilità attese si svilupperà in modo parallelo lungo tutto l'insegnamento, in cui verranno trattati i seguenti argomenti (dividi per obiettivi formativi:
• Basi di matematica discreta (obiettivo 1): Teoremi e metodi di dimostrazione: implicazione, contronominale, dimostrazioni per assurdo. Quantificatori e negazione. Principio di induzione, esempi e esercizi. (4h)
Insiemi, elementi di un insieme, appartenenza e inclusione, sottoinsiemi, insieme delle parti di un insieme,cardinalita' di un insieme finito, diagrammi di Venn. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione e complemento. Coppie e prodotto cartesiano. Contare gli elementi degli insiemi finiti. (4h)
Relazioni, relazioni binarie, proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Relazioni d'equivalenza, classe d'equivalenza, insieme quoziente. Partizioni, teorema fondamentale delle relazioni d'equivalenza. Relazioni d'ordine, esempi: divisibilità tra numeri interi, prefissi, inclusioni tra insiemi. Elementi non confrontabili. Massimo e minimo. Estremo inferiore e estremo superiore. (6h)
Funzioni, dominio e codominio, immagine e preimmagine. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Inversa di una funzione biettiva. Composizione di funzioni. (4h)
• Proprietà aritmetiche (obiettivo formativo 2):
Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, fattoriale, coefficiente binomiale. Disposizioni e combinazioni, contare le funzioni e le funzioni iniettive. (6h)
Algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo del MCD, numeri primi, teorema fondamentale dell'aritmetica (con dimostrazione), teorema sull'esistenza di infiniti numeri primi (con dimostrazione). (4h)
Numerazione in base n. Relazione di congruenza modulo n. Risolvere le congruenze lineari. Insieme delle classi di resto modulo n. (6h)
Operazioni su un insieme, proprietà commutativa e associativa, elemento neutro e elementi invertibili. Elementi invertibili in Zm, funzione di Eulero. (4h)
• Strutture algebriche (obiettivo formativo 3)
Monoidi e gruppi. Esempi numerici e non (monoide delle parole, gruppo delle permutazioni). Definizione di sottogruppo, esempi. Esempio del gruppo delle matrici quadrate di ordine 2, con determinante diverso da zero. Sottogruppi, relazione d'equivalenza determinata da un sottogruppo, laterale destro, teorema di Lagrange. (4h)
Anelli, esempi (anello degli interi modulo n, anello delle matrici su R, anello dei polinomi). Elementi divisori dello 0 e invertibili. Campi, esempi (campo dei reali, campo dei complessi). (4h)
• Matrici (obiettivo formativo 4)
Matrici su un campo, operazioni tra matrici. Determinante e Rango (metodo di Laplace e Sarrus, metodo di Kronecker per il rango). Inversa di una matrice. Riduzione in forma triangolare. (4h)
• Sistemi lineari (obiettivo formativo 5)
Sistemi di equazioni lineari (omogenei e non omogenei): Metodo di Gauss-Jordan. Teorema di Rouchè-Capelli, Teorema di Cramer. (8h)
• Spazi vettoriali (obiettivo formatico 6)
Definizione di spazio vettoriale ed esempi. Sottospazi vettoriali. Insieme linearmente indipendente. Sottospazi generati. Spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio. (4h)
Applicazioni lineari: matrice associata ad una applicazione lineare. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Teorema di nullità più rango. (6h)
Autovalori e autovettori, molteplicità geometrica e algebrica di un autovalore, basi formate da autovettori. (4h)

Il corso prevede lezioni frontali (72 h)
Le lezioni sono dedicate ad illustrare i concetti base della matematica discreta e dell’algebra lineare e sono accompagnate da esempi ed esercizi che aiuteranno nella comprensione degli argomenti.

L’esame consiste in una prova scritta centrata sulla risoluzione degli esercizi relativi agli argomenti trattati nel corso e ad alcune domande di teoria, seguita da una prova orale facoltativa. Il voto massimo che si può avere con l'esame scritto è 28. Possono sostenere la prova orale facoltativa gli studenti che abbiano ottenuto almeno 25 allo scritto.
Esempi di prove scritte passate si trovano sul sito di e-learning del corso.

Saranno fornite delle dispense sul sito di elearning.
Altri testi consigliati sono:
• Introduzione alla Matematica Discreta, di M Bianchi e A. Gillio, McGraw-Hill.
• Elementi di Matematica Discreta e Algebra Lineare di F. Dalla Volta e M. Rigoli, Pearson Education, 2007.

Il docente riceve per appuntamento, previa richiesta via e-mail a brunella.gerla@uninsubria.it

Cerchi il programma? Potrebbe non essere ancora stato caricato o riferirsi ad insegnamenti che verranno erogati in futuro.
Seleziona l‘anno in cui ti sei immatricolato e troverai le informazioni relative all'insegnamento del tuo piano di studio.

A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE