Università degli studi dell'Insubria

TOPICS IN ADVANCED ANALYSIS B

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento opzionale

Laurea Magistrale in MATEMATICA (A.A. 2018/2019)
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Lo scopo dell'insegnamento è di permettere allo studente di acquisire, sia attraverso risultati astratti sia attraverso esempi concreti, i concetti di base dalla teoria dei gruppi localmente compatti e delle loro rappresentazioni. Il corso si propone anche di introdurre applicazioni di Teoria delle Algebre di Operatori, Analisi armonica e Teoria delle Rappresentazioni. Alla fine del corso ci aspettiamo che:

1) Lo studente abbia acquisito le nozioni fondamentali relative ai campi sopra menzionati
2) Sulla base delle dimostrazioni illustrate durante le lezioni, lo studente sia in grado di realizzare da sé ragionamenti di media complessità che lo portino a dedurre le proprietà astratte degli oggetti sopra citati;
3) Lo studente sia in grado di indagare le principali proprietà degli oggetti citati sopra in situazioni concrete.

Prerequisiti: 

Algebra lineare, una conoscenza degli strumenti di base dell'analisi funzionale, teoria dell'integrazione di Lebesgue e i principali concetti di teoria spettrale.

Algebre di Banach: concetti di base
Teoria di Gelfand
Algebre di Banach prive di unità
Il teorema spettrale
Teoria spettrale delle * -Rappresentazioni
Von Neumann Algebre

Gruppi topologici
Algebre di Banach: concetti di base
Teoria di Gelfand
Algebre di Banach non universali
Il teorema spettrale
Teoria spettrale delle *-Rappresentazioni
Von Neumann Algebre

Gruppi topologici
Misura di Haar
Convoluzione
Spazi omogenei
Rappresentanze unitarie
Rappresentazioni di un gruppo e della sua algebra di gruppo
Funzioni di tipo positivo

Analisi sui gruppi abeliani localmente compatti
Il gruppo duale
La trasformazione di Fourier
Il teorema di dualità di Pontrjagin
Rappresentazioni dei gruppi abeliani localmente compatti
Ideali chiusi in L1(G)
Sintesi spettrale

Analisi sui gruppi compatti
Rappresentazioni dei gruppi compatti
Il teorema di Peter-Weyl
Analisi di Fourier sui gruppi compatti

Rappresentazioni indotte
Costruzione delle rappresentazioni per induzione
Il teorema di reciprocità di Frobenius
Pseudomisure e induzione in stadi
Sistemi di imprimitività
Il teorema di imprimitività
Introduzione alla "Mackey Machine"

Lezioni Frontali

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

La verifica dell'apprendimento consisterà in due parti:

1) Una breve tesi scritta su un argomento scelto da esporre alla classe come una lezione.
2) Un esame orale tradizionale, durante il quale lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito le nozioni di base e le prove dei principali teoremi.

Gerald B. Folland A Course in Abstract Harmonic Analysis, 2nd Edition, CRC Press, 2015

Mutuazioni

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A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE