Università degli studi dell'Insubria

MATHEMATICAL LOGIC

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento opzionale

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2018/2019)
Docenti
L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
LOGICA MATEMATICA (MAT/01)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Questo è un corso introduttivo alla Logica Matematica. Verrà introdotta la logica classica proposizionale e al primo ordine, con accenni alla teoria dei modelli. Indi, verrà introdotta la logica intuizionista e la sua relazione con la teoria della calcolabilità. Si concluderà mostrando i principali risultati limitativi, in particolare i teoremi di incompletezza di Gödel.

Al termine del corso ci si attende lo studente abbia acquisito le seguenti abilità:
1. capacità di effettuare semplici dimostrazioni matematiche in un sistema formale tra quelli presentati (logica proposizionale classica e intuizionista, logica al primo ordine classica e intuizionista, lambda-calcolo e teoria dei tipi semplici).
2. capacità di effettuare dimostrazioni su un sistema formale tra quelli presentati (correttezza, completezza, sintesi di modelli non standard mediante compattezza).
3. capacità di vedere criticamente le nozioni fondamentali della matematica (molteplicità del concetto di insieme, molteplicità del concetto di numero, vero non coincidente con dimostrabile).
4. capacità di relazionare dimostrazioni e computazioni (interpretazione delle proposizioni come tipi nei sistemi intuizionisti, concetto di costruttività).
5. capacità di legare lo studio dei sistemi formali ad altri domini matematici (logica come studio dei fondamenti della matematica).

E’ anche previsto che lo studio della logica conduca lo studente ad acquisire un vocabolario scientifico adeguato che gli consenta di rivedere criticamente le conoscenze già in suo possesso in ambito matematico, espandendo la coscienza di unità delle discipline matematiche.

Prerequisiti: 

Non sono previsti requisiti a parte il possesso delle conoscenze di base di una laurea triennale in ambito matematico: elementi basilari di aritmetica, analisi matematica e topologia elementare. E’ utile, ma non necessario, possedere rudimenti relativi alla programmazione di calcolatori.

Contenuti e programma del corso
1. logica proposizionale classica: sintassi, calcolo in deduzione naturale, semantica con tavole di verità e con algebre booleane, correttezza, completezza.
2. logica classica al primo ordine: sintassi, calcolo in deduzione naturale, semantica alla Tarski, correttezza, completezza, compattezza, cenni alla teoria dei modelli.
3. teoria degli insiemi di Zermelo-Frænkel: classi e insiemi, induzione sugli insiemi, ordinali, cardinali, l'assioma di scelta, l'ipotesi del continuo.
4. fondamenti di logica intuizionista: sintassi, semantica proposizionale algebrica, correttezza e completezza, relazione con la calcolabilità (cenni), lambda-calcolo e teoria dei tipi semplici (cenni).
5. risultati limitativi: teoremi di incompletezza di Gödel e incompletezza naturale (cenni).

Lezione frontale in lingua inglese con l’ausilio di slides e approfondimenti alla lavagna.
Gli obiettivi didattici verranno raggiunti seguendo il seguente schema:
1. ognuno dei cinque capitoli del corso viene introdotto da una discussione generale di inquadramento nelle discipline matematiche, con la spiegazione del senso filosofico della materia che si andrà ad affrontare.
2. verranno illustrate le definizioni e i teoremi fondamentali al fine di fornire l’impianto matematico in modo solido e ordinato.
3. esempi di utilizzo accompagneranno i risultati di particolare rilievo, sia per chiarirne il senso, sia per illustrarne l’applicazione.
4. le parti che necessitano (dimostrazioni formali) saranno compendiate da esercizi svolti in classe dal docente, con particolare enfasi sul metodo per la loro risoluzione.
5. al termine di ogni capitolo, si fornisce un sommario dei risultati ottenuti con lo scopo di fornire la prospettiva atta a inquadrarli criticamente sia rispetto al loro senso matematico, sia in relazione alle conoscenze acquisite in altri corsi.
Data la duplice natura matematica e filosofica della disciplina, si consiglia agli studenti di partecipare alle lezioni, anche se la frequenza non è obbligatoria.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L’esame è orale, con la scelta alternativa per i frequentanti di effettuare quattro prove scritte intermedie in aula in sostituzione dell’esame finale.
Durante un esame orale verrà verificata
- la capacità di effettuare una dimostrazione formale in uno dei sistemi logici presentati al corso: logica proposizionale classica e intuizionista, logica al primo ordine classica e intuizionista.
- la conoscenza del contenuto del corso mediante l’enunciazione e la dimostrazione di alcuni teoremi tra quelli che sono stati illustrati a lezione. Il numero dei teoremi e la loro scelta vengono guidati dalla necessità di ricoprire i cinque capitoli del programma.
- la capacità di relazionare i concetti appresi a lezione con gli interessi matematici dello studente, mediante una domanda che richieda specificamente di usare i concetti del corso nell’ambito che lo studente predilige.
La votazione sarà determinata dal grado di conoscenza e studio, dalla capacità manipolativa formale, e dalla abilità di porre in relazione i concetti base del corso con altri ambiti matematici.

Le prove intermedie sono una opzione riservata agli studenti frequentanti. Esse sono quattro, e ricomprendono i capitoli 1, 2, 3 e 4, 5.
Ogni prova è articolata su tre quesiti:
1. effettuare un esercizio di dimostrazione in un sistema formale (prove 1 e 2), oppure su di un sistema formale (prove 3 e 4).
2. enunciare e dimostrare un risultato tra quelli studiati a lezione nei capitoli corrispondenti (prova 1, capitolo 1 – prova 2, capitolo 2 – prova 3, capitoli 3 e 4 – prova 4, capitolo 5).
3. effettuare una dimostrazione o una costruzione non illustrata a lezione, che richieda l’uso dei concetti studiati.
La votazione di ciascuna sarà determinata in base alla correttezza dei primi due quesiti, e in base alla linea di ragionamento seguita nel terzo quesito.
La votazione finale sarà la media dei voti delle quattro prove intermedie.

Le slides delle lezioni, disponibili sul sito web del corso, costituiscono il testo.
La bibliografia di approfondimento è consigliata, ed è presente nell’ultima slide di ogni lezione.

Sono anche disponibili, sullo stesso sito, una collezione di esercizi svolti, il testo e le soluzioni delle prove intermedie effettuate gli anni precedenti.
Al termine di ogni prova intermedia, sul sito web verrà pubblicato il testo e la soluzione corrispondente.

Il sito web del corso è: https://marcobenini.me/lectures/mathematical-logic/
Il ricevimento studenti è su appuntamento da concordarsi via email.

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE