FISICA MATEMATICA

A.A. di erogazione 2020/2021
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2018/2019)

Docenti

FERMI DAVIDE
Anno di corso: 
3
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
FISICA MATEMATICA (MAT/07)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
60
Dettaglio ore: 
Lezione (48 ore), Esercitazione (12 ore)

Le equazioni alle derivate parziali permettono di descrivere un gran numero di fenomeni naturali, tra cui: le vibrazioni dei solidi, la propagazione di onde acustiche ed elettromagnetiche, la diffusione del calore, la dinamica di particelle quantistiche.
Lo scopo del corso è di offrire un’introduzione alla teoria delle equazioni alle derivate parziali. Verranno studiate tre equazioni fondamentali della fisica matematica: l’equazione delle onde, l’equazione del calore e l’equazione di Poisson. Le equazioni verranno introdotte partendo da considerazioni di carattere fisico. Nello stesso spirito, partendo dalla descrizione di fenomeni naturali, verranno impostati alcuni problemi tipici ad esse associati: problemi con dati iniziali e/o condizioni al bordo. I problemi presentati verranno risolti in modo matematicamente rigoroso utilizzando strumenti di analisi funzionale.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di:
- ottenere le formule di rappresentazione per le soluzioni dei problemi associati alle tre equazioni differenziali;
- enunciare e dimostrare teoremi di esistenza, unicità e stabilità delle soluzioni;
- discutere le proprietà fondamentali delle soluzioni;
- fare esempi di applicazioni fisiche.

Nozioni di base del calcolo differenziale ed integrale di funzioni di una e più variabili e delle equazioni differenziali ordinarie. Si assumono note le nozioni dei corsi di Analisi Matematica I e II. Sono raccomandati i concetti del corso di Analisi Matematica III.

Il corso è essenzialmente diviso in quattro parti tra loro mutuamente interconnesse:
1. Equazione del calore, delle onde e di Poisson nello spazio;
2. Funzioni armoniche e equazione di Poisson in domini limitati;
3. Distribuzioni;
4. Equazione del calore e delle onde in domini limitati. Autovalori e autofunzioni.
Il programma dettagliato del corso è il seguente:
- Equazione del trasporto.
- Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine.
- Equazione delle onde sulla retta.
-- Derivazione da considerazioni fisiche. Formula di d’Alembert. Principio di causalità. Conservazione dell'energia. Equazione delle onde sulla semiretta.
- Equazione del calore sulla retta.
-- Derivazione da considerazioni fisiche. Soluzione fondamentale e soluzione del problema di Cauchy. Principio del massimo. Unicità e stabilità.
- Equazione del calore in Rˆn.
- Teorema della divergenza e identità di Green.
- Equazione delle onde in Rˆn.
-- Medie sferiche e equazione di Eulero-Poisson-Darboux. Formula di Kirchhoff. Metodo della discesa. Principio di causalità e unicità della soluzione.
- Principio di Duhamel.
- Equazione di Poisson in R^n.
- Equazione di Laplace e funzioni armoniche.
-- Soluzione fondamentale. Teorema del valor medio. Teorema di Liouville. Unicità.
- Equazione di Poisson su domini limitati.
-- Principio del massimo e unicità. Funzione di Green. Simmetria della funzione di Green. Funzione di Green per il semispazio. Funzione di Green per la bolla. Principio di Dirichlet. Funzione di Green per il problema di Neumann.
- Distribuzioni.
-- Funzioni test e distribuzioni. Funzioni della classe Schwartz. Trasformata di Fourier delle funzioni della classe Schwartz. Distribuzioni temperate. Operazioni sulle distribuzioni: derivazione, convoluzione e trasformata di Fourier. Soluzioni fondamentali.
- Serie di Fourier.
-- Equazione del calore e delle onde sull’intervallo. Separazione delle variabili. Convergenza puntuale della serie di Fourier. Soluzione dell’equazione del calore, convergenza uniforme. Soluzione dell’equazione del calore con dati iniziali continui. Soluzione dell’equazione delle onde.
- Equazione del calore e delle onde in domini limitati. Autovalori e autofunzioni.

Il corso consiste di 48 ore di lezioni frontali e 24 ore di esercitazioni. Durante le ore di esercitazioni il docente svolgerà alcuni esercizi e discuterà alcuni esempi di complemento alle nozioni teoriche presentate durante le lezioni. Per questo motivo le esercitazioni sono da considerarsi parte integrante del corso. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
A causa dell’emergenza coronavirus, molto probabilmente la didattica si svolgerà in modalità da remoto. Sia le lezioni che le esercitazioni saranno realizzate utilizzando la piattaforma Microsoft Teams.

Esame orale. L'esame consiste in una discussione sulle equazioni alle derivate parziali presentate durante il corso e sui metodi utilizzati per risolvere i problemi ad esse associati. Lo scopo dell'esame è di verificare: il livello di conoscenza e di approfondimento degli argomenti affrontati; la piena comprensione delle tecniche risolutive e delle proprietà delle soluzioni; la capacità di enunciare teoremi ed esporre le dimostrazioni in modo matematicamente rigoroso; la capacità di discutere gli esempi presentati a lezione. Lo studente che aspira all’eccellenza dovrà essere in grado di: giustificare tutte le ipotesi necessarie alla dimostrazione dei teoremi e tutti i passaggi delle dimostrazioni; discutere alcuni casi particolari che non rientrano nell’ambito della teoria generale; utilizzare tutte le tecniche risolutive presentate durante il corso. Il voto è espresso in trentesimi.

- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society.
- R. S. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific Publishing Company, 2003.
- W. Strauss, Partial differential equations: An Introduction, Wiley&Sons.

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A.A. 2020/2021

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2019/2020

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE