ALGEBRA 2
Docenti
- Scheda dell'insegnamento
- Obiettivi formativi
- Prerequisiti
- Contenuti
- Metodi didattici
- Verifica dell'apprendimento
- Testi
- Altre informazioni
Conoscenza dei principali risultati nell'ambito della teoria degli anelli e della teoria dei moduli. Applicazioni allo studio delle forme canoniche di matrici e alla classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Al termine del corso lo studente sarà in grado di verificare proprietà di strutture algebriche con più di un'operazione, di applicare i teoremi di Sylow per ottenere informazioni strutturali su gruppi finiti, di riconoscere gruppi abeliani finitamente generati e di determinare le varie forme canoniche di una matrice quadrata.
Contenuti del corso di algebra 1: teoria degli insiemi, teoria dei gruppi.
Complementi di teoria dei gruppi 12 ore
Sottogruppi di p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Prodotto semidiretto di gruppi.
Anelli 30 ore
Definizione di anello. Zero-divisori. Elementi invertibili. Anelli interi, domini di integrità, corpi, campi. Quaternioni.
Sottoanelli, omomorfismi di anelli. Campo dei quozienti di un dominio.
Teoremi di isomorfismo per anelli. Ideali e anelli quoziente.
Caratteristica di un anello. Campo minimo.
Anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Anello delle serie di potenze formali.
Proprietà universale dell'anello dei polinomi. Polinomi in più variabili.
Divisibilità in domini di integrità. Elementi associati.
Elementi irriducibili e primi. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione.
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
Domini euclidei. Algoritmo di Euclide. Divisione di polinomi. Zeri di polinomi.
Fattorizzazione di polinomi. Lemma di Gauss. Teorema: l'anello dei polinomi a coefficienti in un UFD è un UFD.
Estensioni di campi. Elementi algebrici. Polinomio minimo.
Elementi algebrici e trascendenti. Radice n-esime dell'unità.
Campi finiti.
Moduli 22 ore
Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli sinistri e destri su un anello. Anello opposto. Ideali destri e sinistri. Sottomoduli. Omomorfismi di moduli. Prodotto diretto di moduli. Moduli indipendenti. Elementi linearmente indipendenti. Sottomodulo generato da elementi di un modulo. Moduli liberi su un anello. Basi. Annullatori di elementi e moduli. Condizioni per la ciclicità di un modulo.
Domini a ideali principali (PID). Teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su un PID. Gruppi abeliani finitamente generati. Forma canonica di Jordan. Polinomio minimo di una matrice.
Lezioni frontali: 64 ore
Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Nello scritto è richiesta la capacità di verificare proprietà delle strutture algebriche, di determinare le forme canoniche di matrici quadrate e di giustificare tutte le affermazioni fatte. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.
il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipende dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.
Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito del corso.
Per maggiori dettagli consultare il sito del corso.
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