Università degli studi dell'Insubria

GEOMETRIA 2

A.A. di erogazione 2019/2020
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2018/2019)

Docenti

Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Gli obiettivi formativi dell’insegnamento sono:
1) Far acquisire allo studente le nozioni fondamentali della teoria delle superfici regolari nello spazio Euclideo tridimensionale, illustrando sia gli aspetti locali che globali della loro geometria estrinseca.
2) Introdurre lo studente alla teoria dell'integrazione sulle superfici, presentando alcune applicazioni geometriche.
3) Attraverso l'esercizio su esempi concreti, far sviluppare l'abilità di calcolo delle principali grandezze che descrivono la geometria locale di una superficie, quali curvatura media e curvatura Gaussiana. Esercizi di carattere più teorico si propongono di far sviluppare allo studente l'abilità nell'indagine astratta sulle superfici e sulle loro proprietà geometriche.
Ci si attende che lo studente:
1) Acquisisca le nozioni fondamentali della teoria delle superfici regolari nello spazio Euclideo tridimensionale e di aspetti della loro geometria estrinseca sia locale che globale.
2) Acquisisca le nozioni di base della teoria dell'integrazione sulle superfici.
3) Acquisisca abilità di calcolo delle principali grandezze che descrivono la geometria locale di una superficie e sviluppi abilità nell'indagine astratta sulle superfici Euclidee e sulle loro proprietà geometriche.

Prerequisiti: 

Elementi di topologia generale. Calcolo su funzioni in più variabili

Il corso è diviso in due parti: la prima è dedicata alle curve differenziabili nel piano e fornisce una panoramica di concetti e risultati che si cercherà di estendere, nella seconda parte, alle superfici differenziabili dello spazio.
A) Curve differenziabili
1) Curve lisce nello spazio e loro lunghezza. Proprietà minimizzante dei segmenti di retta.
2) Curve regolari, retta tangente e parametro d'arco.
3) Curve piane, Diedro di Frenet, Curvatura con segno e formule di Frenet.
4) Teorema fondamentale della geometria locale delle curve piane.
5) Curve piane a curvatura costante.
B) Superfici differenziabili
1) Superfici regolari dello spazio Euclideo.
2) Teorema della funzione implicita e superfici di livello.
3) Funzioni lisce tra superfici regolari.
4) Piano tangente e differenziale di una mappa liscia.
5) Prima forma fondamentale ed isometrie.
6) Orientabilità e mappa di Gauss.
7) Seconda forma fondamentale e curvature.
8) Superfici totalmente ombelicali.
9) I Teoremi di rigidità di Hilbert-Liebmann.
10) Integrazione sulle superfici compatte.

Lezioni frontali ed esercizi da svolgere a casa.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

In accordo agli obiettivi dell'insegnamento, la verifica dell'apprendimento verrà svolta attraverso:
- una prova scritta, nella quale lo studente deve mostrare di aver acquisito la capacità di verificare le proprietà principali delle superfici su esempi concreti;
- una prova orale, durante la quale lo studente dovrà mostrare di aver acquisito le principali nozioni e le dimostrazioni dei teoremi più rilevanti del corso.

M. Abate, F. Tovena. Curve e Superfici. Springer 2006.

S. Montiel, A. Ros. Curves and Surfaces. GSM 69, A.M.S. 2009.

M. Postnikov,
Lectures in Geometry, semester II
MIR 1982

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE