Università degli studi dell'Insubria

METODI MATEMATICI DELLA FISICA CON ESERCITAZIONI (MOD.I):ELEMENTI DI ANALISI COMPLESSA CON ESERCITAZIONI

A.A. di erogazione 2019/2020
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in Fisica
 (A.A. 2018/2019)

Docenti

L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI (FIS/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

L'obbiettivo centrale del corso e' la introduzione alla analisi complessa; piu' precisamente, alla teoria delle funzioni di una variabile complessa. Si tratta di un argomento fondamentale, supplemento naturale ai corsi base di Analisi matematica, e in varia misura rilevante per i matematici di qualunque orientamento, nonche' per i fisici, sia teorici, sia applicati. Il corso intende guidare lo studente a riconoscere che tutte le funzioni basilari del Calcolo, in origine introdotte come funzioni di variabile reale, sono in realta' piu' naturalmente definite come funzioni di variabile complessa, e che cio' rivela la loro struttura in modo piu' profondo di quanto si possa immaginare rimanendo nel campo reale. Allo stesso tempo lo studente verra' addestrato a maneggiare strumenti di calcolo basati sulla analisi complessa, che sono di frequente impiego nella matematica applicata e nella fisica. Verra' introdotto ad alcune tecniche di vasta applicazione quali la integrazione di cammino, e l'uso delle serie di potenze nella risoluzione di equazioni differenziali ordinarie.

I concetti di base della teoria degli spazi metrici; i concetti fondamentali del Calcolo per le funzioni di una variabile reale, e le nozioni di base riguardo le derivate parziali. Non vi sono vincoli di propedeuticità.

Rassegna delle nozioni basilari sui numeri complessi. Definizione delle funzioni trascendenti elementari di una variabile complessa. Funzioni Olomorfe: condizioni di Cauchy-Riemann, e rappresentazoni conformi. Regole di derivazione. Funzioni inverse, radici, e logaritmi. Il piano complesso esteso, e la sfera di Riemann. (10 h)
Nozione di cammino in uno spazio metrico. Cammini regolari nel piano complesso. L'integrale di cammino per funzioni di n variabili reali, e per funzioni di una variabile complessa. Campi conservativi. Funzioni olomorfe, come campi vettoriali. Il teorema di Cauchy; Integrali del tipo di Cauchy, e formula integrale di Cauchy. Funzioni armoniche. Principio del massimo modulo. Teorema di Liouville. (10 h)
Serie di potenze; funzioni analitiche . Serie notevoli. (6h)
Singolarita' isolate; sviluppo di Laurent, classificazione delle singolarita'isolate. Teorema dei residui, e sue applicazioni. (6h)
Teorema fondamentale sul Prolungamento Analitico; prolungamento analitico lungo un cammino; monodromia, e polidromia; funzioni analitiche complete, e superficie di Riemann. Integrali di funzioni polidrome. (5h)
La funzione Gamma. Equazioni differenziali ordinarie, lineari, del 2 ordine. Teorema di esistenza e unicita' locale; prolungamento analitico delle soluzioni; struttura dello spazio delle soluzioni. Punti singolari. Equazione di Eulero. Soluzioni fondamentali. Singolarita' regolari, e comportamento delle soluzioni nel loro intorno. Equazione e funzioni di Bessel. Equazioni della classe di Fuchs; equazione di Gauss; funzione Ipergeometrica.(13h)

Il corso consiste di circa 50 ore di lezione frontale, e di circa 14 ore di esercitazione. In queste ultime si svilupperanno argomenti complementari, e si svolgeranno esercizi e problemi.

L'unica verifica e' l'esame finale, che si svolge per iscritto, e consiste nella risoluzione di 4/5 problemi, in un tempo di 3/4 ore.

Appunti completi del Corso redatti in LaTex a cura del docente sono disponibili in rete. Testo suggerito per approfondimento :
John B. Conway, Functions of One Complex Variable