Università degli studi dell'Insubria

METODI MATEMATICI DELLA FISICA CON ESERCITAZIONI

A.A. di erogazione 2019/2020
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in Fisica
 (A.A. 2018/2019)
L'insegnamento è composto da diversi moduli, consultare il dettaglio nella sezione Moduli.
Anno di corso: 
2
Crediti: 
16
Ore di attivita' frontale: 
128

MODULO I: L'obbiettivo centrale del corso e' la introduzione alla analisi complessa; piu' precisamente, alla teoria delle funzioni di una variabile complessa. Si tratta di un argomento fondamentale, supplemento naturale ai corsi base di Analisi matematica, e in varia misura rilevante per i matematici di qualunque orientamento, nonche' per i fisici, sia teorici, sia applicati. Il corso intende guidare lo studente a riconoscere che tutte le funzioni basilari del Calcolo, in origine introdotte come funzioni di variabile reale, sono in realta' piu' naturalmente definite come funzioni di variabile complessa, e che cio' rivela la loro struttura in modo piu' profondo di quanto si possa immaginare rimanendo nel campo reale. Allo stesso tempo lo studente verra' addestrato a maneggiare strumenti di calcolo basati sulla analisi complessa, che sono di frequente impiego nella matematica applicata e nella fisica. Verra' introdotto ad alcune tecniche di vasta applicazione quali la integrazione di cammino, e l'uso delle serie di potenze nella risoluzione di equazioni differenziali ordinarie.

MODULO II: Ci si attende che gli studenti di questo corso acquisiscano una certa dimestichezza operativa con quegli strumenti matematici che , pur essendo da tempo comunemente utilizzati nella Meccanica quantistica, sono tuttavia abbastanza avanzati da eccedere i limiti dei corsi di base di analisi matematica; tuttavia mantenendo un grado di consapevolezza della articolazione logica della teoria matematica sottostante, sufficiente a permetterne un uso critico, al di là della pura e semplice manipolazione formale.

MODULO I: I concetti di base della teoria degli spazi metrici; i concetti fondamentali del Calcolo per le funzioni di una variabile reale, e le nozioni di base riguardo le derivate parziali. Non vi sono vincoli di propedeuticita’.

MODULO II: Elementi di base della algebra lineare e della teoria degli spazi vettoriali di dimensione finita

MODULO I: Rassegna delle nozioni basilari sui numeri complessi. Definizione delle funzioni trascendenti elementari di una variabile complessa. Funzioni Olomorfe: condizioni di Cauchy-Riemann, e rappresentazoni conformi. Regole di derivazione. Funzioni inverse, radici, e logaritmi. Il piano complesso esteso, e la sfera di Riemann. (10 h)
Nozione di cammino in uno spazio metrico. Cammini regolari nel piano complesso. L'integrale di cammino per funzioni di n variabili reali, e per funzioni di una variabile complessa. Campi conservativi. Funzioni olomorfe, come campi vettoriali. Il teorema di Cauchy; Integrali del tipo di Cauchy, e formula integrale di Cauchy. Funzioni armoniche. Principio del massimo modulo. Teorema di Liouville. (10 h)
Serie di potenze; funzioni analitiche . Serie notevoli. (6h)
Singolarita' isolate; sviluppo di Laurent, classificazione delle singolarita'isolate. Teorema dei residui, e sue applicazioni. (6h)
Teorema fondamentale sul Prolungamento Analitico; prolungamento analitico lungo un cammino; monodromia, e polidromia; funzioni analitiche complete, e superficie di Riemann. Integrali di funzioni polidrome. (5h)
La funzione Gamma. Equazioni differenziali ordinarie, lineari, del 2 ordine. Teorema di esistenza e unicita' locale; prolungamento analitico delle soluzioni; struttura dello spazio delle soluzioni. Punti singolari. Equazione di Eulero. Soluzioni fondamentali. Singolarita' regolari, e comportamento delle soluzioni nel loro intorno. Equazione e funzioni di Bessel. Equazioni della classe di Fuchs; equazione di Gauss; funzione Ipergeometrica.(13h)

MODULO II: Il corso consiste in una introduzione sintetica, ma logicamente coerente, agli elementi di Analisi Funzionale sui quali è fondato il formalismo matematico della Meccanica quantistica. Alla tradizionale teoria elementare degli spazi di Hilbert, verrà affiancata una introduzione “efficace” alla teoria delle distribuzioni temperate. Pur senza rinunciare alla coerenza logica, verrà minimizzato il ricorso ad aspetti astratti di teoria degli spazi vettoriali topologici, mentre si porrà l’accento sulle tecniche distribuzionali elementari di più frequente utilizzo, quali la trasformata di Fourier, e le funzioni di Green.

MODULO I: Il corso consiste di circa 50 ore di lezione frontale, e di circa 14 ore di esercitazione. In queste ultime si svilupperanno argomenti complementari, e si svolgeranno esercizi e problemi.

MODULO II: Lezioni frontali ed esercitazioni

MODULO I: L'unica verifica e' l'esame finale, che si svolge per iscritto, e consiste nella risoluzione di 4/5 problemi, in un tempo di 3/4 ore.

MODULO II: Esame scritto in cui gli studenti devono risolvere tre esercizi, ciascuno suddiviso da due fino a quattro punti, della stessa tipologia di quelli svolti in classe.
Segue una prova orale in cui lo studente deve dimostrare di avere raggiunto un grado di consapevolezza della articolazione logica della teoria matematica sottostante, sufficiente a permetterne un uso critico, al di là della pura e semplice manipolazione formale.

MODULO I: Appunti completi del Corso redatti in LaTex a cura del docente sono disponibili in rete. Testo suggerito per approfondimento :
John B. Conway, Functions of One Complex Variable

MODULO II: Note scritte fornite dal docente durante il corso

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE