Università degli studi dell'Insubria

ALGEBRA 1

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2018/2019)

Docenti

Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Conoscenza delle strutture base dell'algebra e delle proprietà astratte delle operazioni.

Normali conoscenze di matematica della scuola superiore.

1) Insiemi: 8 ore
Richiami. Corrispondenze. Applicazioni tra insiemi. Composizione di applicazione. Associatività. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Inversa di un'applicazione biiettiva. Relazioni in un insieme. Relazione di equivalenza. Relazione d'ordine parziale e totale.

2) Numeri Interi: 16 ore
Proprietà delle operazioni negli interi. Ordinamento negli interi. Principio di induzione. Divisione tra numeri interi. Massimo comun divisore. Identità di Bezout. Caratterizzazione dei primi. Algoritmo Euclideo. Fattorizzazione in primi. Esistenza di infiniti numeri primi. Congruenze modulo un intero. Classi di resto e operazioni. L'anello delle classi di resto. Legge di cancellazione e elementi invertibili modulo n. Congruenze con incognite. Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero.

3) Gruppi: 40 ore
Operazioni binarie. Monoidi. Gruppi. Monoidi e gruppi commutativi. Classi di resto. Trasformazioni del piano. Gruppo trirettangolo. Gruppo diedrale. Leggi di cancellazione. Tavole moltiplicative. Sottogruppi. Criteri per sottogruppi. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da sottoinsieme. Elementi del sottogruppo generato da un insieme.
Azioni di un gruppo su un insieme. Azione banale. Azioni transitive. Orbite. Coniugio. Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Laterali destri e sinistri. Indice di un sottogruppo. Stabilizzatori e orbite di elementi. Centralizzanti. Centro di gruppi di ordine potenza di p. Classificazione dei gruppi di ordine un quadrato di una potenza di un primo.
Gruppo simmetrico. Cicli nel gruppo simmetrico. Cicli disgiunti. Coniugati nel gruppo simmetrico. Scambi nel gruppo di permutazioni. Parità di una permutazione. Teorema di Cayley. Gruppo alterno. Numero degli elementi di dato ordine in un gruppo ciclico.
Potenze di un elemento in un gruppo e in un monoide. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Sottogruppi di un gruppo ciclico. Reciproca posizione dei sottogruppi di un gruppo ciclico.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Quoziente sul centro.
Omomorfismi tra monoidi e gruppi. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Teoremi di isomorfismo. Omomorfismi da gruppi ciclici. Endomorfismi di gruppi ciclici. Immagini dirette e inverse di sottogruppi e sottogruppi normali.
Prodotto di sottogruppi. Prodotto di sottogruppi normali. Prodotto diretto interno ed esterno di gruppi. Prodotto diretto di gruppi ciclici.

Lezioni frontali: 64 ore

Durante l'interruzione delle lezioni di novembre è prevista una prova intermedia scritta sul programma fin lì svolto, con particolare riguardo alle proprietà aritmetiche degli interi. In base al risultato lo studente otterrà fino a 5 punti da aggiungere al punteggio dell'esame scritto dei primi due appelli al termine del corso.

La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Nello scritto è richiesta la capacità di verificare proprietà delle operazioni e delle strutture algebriche e di giustificare tutte le affermazioni fatte.

Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.

La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.

il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipende dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.

P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.

Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito del corso.

Per maggiori dettagli consultare il sito del corso.

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE