Università degli studi dell'Insubria

TOPICS IN ADVANCED GEOMETRY B

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento opzionale

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2017/2018)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

L'obiettivo del corso è quello di far acquisire allo studente, attraverso risultati astratti e molti esempi concreti, i concetti di base provenienti dalla teoria delle varietà differenziali n-dimensionali. Questi sono gli spazi naturali dove può essere introdotta la nozione di differenziabilità di una mappa e dove gli strumenti classici dell'Analisi possono essere sviluppati ed estesi.
Il corso è pensato come preparatorio per differenti aree della matematica che vanno dalla Topologia Differenziale, la Geometria Riemanniana, la Meccanica Analitica e la teoria dei Sistemi Dinamici Lisci. Al termine del corso ci si attende che:

1) Lo studente abbia acquisito le principali nozioni e i teoremi fondamentali della teoria delle varietà differenziali, della mappe lisce tra queste varietà e dei fibrati vettoriali e delle loro sezioni, con speciale enfasi sul fibrato tangente e la dinamica dei campi vettoriali;

2) Sulla base delle dimostrazioni apprese a lezione, lo studente sia in grado di compiere autonomamente dei ragionamenti di media complessità, per dedurre proprietà di natura astratta di questi oggetti;

3) Lo studente sappia individuare su esempi concreti le principali proprietà degli oggetti sopra elencati.

Il calcolo, ed alcuni elementi di analisi, in più variabili reali verranno usati sin dalle prime lezioni del corso. È richiesto inoltre che gli studenti abbiamo una conoscenza approfondita della topologia degli insiemi di punti e del gruppo fondamentale di uno spazio topologico.

Schematicamente, i principali argomenti trattati nel corso possono essere descritti nel seguente modo:

1)Varietà topologiche
2)Strutture differenziali su varietà topologiche
3) Mappe lisce e partizioni dell'unità
4) Spazio tangente e differenziale di una mappa liscia
5) Fibrato tangente e campi vettoriali
6) Rivestimenti lisci e azioni lisce di gruppi discreti
7) I teoremi della funzione inversa, della funzione implicita e del rango
8) Immersioni, sottovarietà regolari ed embedded
9) Misura nulla e teoremi di Sard
10) Il teorema di embedding di Whitney

Il metodo di insegnamento consiste in lezioni frontali. Inoltre, verranno assegnati regolarmente esercizi sia di natura teorica che basati su esempi concreti

La verifica dell'apprendimento consiste di due parti:

1) Un esame scritto, della durata di 2 ore, dove gli studenti dovranno risolvere alcuni dei numerosi esercizi assegnati durante il corso. Tali esercizi hanno un grado di complessità tale da mettere in luce se lo studente ha acquisito sia le abilità nell'investigare le proprietà di varietà differenziali e delle mappe liscie in casi concreti che nel condurre autonomamente ragionamenti per dedurre conclusioni più astratte.

2) Un esame tradizionale orale durante il quale gli studenti dovranno mostrare di aver acquisito le nozioni basilari e le dimostrazioni dei principali/

Libri di testo

1) J. M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer.

2) W. M. Boothby. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Volume 120, Pure and Applied Mathematics. Academic Press.

Ulteriore materiale didattico

1) Dispense scritte dal docente sui principali temi del corso

2) Esercizi di medio-alta complessità da svolgere a casa

Ricevimento Studenti: su appuntamento

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A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE