Università degli studi dell'Insubria

METODI MATEMATICI DELLA FISICA II

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento opzionale

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2017/2018)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Affine/Integrativa
Settore disciplinare: 
FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI (FIS/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Ci si attende che gli studenti di questo corso acquisiscano una certa dimestichezza operativa con quegli strumenti matematici che , pur essendo da tempo comunemente utilizzati nella Meccanica quantistica, sono tuttavia abbastanza avanzati da eccedere i limiti dei corsi di base di analisi matematica; tuttavia mantenendo un grado di consapevolezza della articolazione logica della teoria matematica sottostante, sufficiente a permetterne un uso critico, al di là della pura e semplice manipolazione formale.

Elementi di base della algebra lineare e della teoria degli spazi vettoriali di dimensione finita

Nozione generale di spazio funzionale. Spazi vettoriali topologici. Spazi normati e spazi prehilbertiani, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, identità del parallelogrammo, identità di polarizzazione. Spazi di Banach e di Hilbert. Spazi di successioni. Introduzione sintetica alla teoria astratta della misura e della integrazione. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenza in media quadratica, Spazi di funzioni di quadrato sommabile. Sottospazi di uno spazio di Hilbert; teorema delle proiezioni. Decomposizione ortogonale. Sistemi ortonormali e basi Hilbertiane. Serie di Fourier generalizzate. Spazi separabili. Isomorfismo Hilbertiano; operatori lineari e continui. Rappresentazione dei funzionali lineari e continui. Algebra degli operatori continui: operatori unitari, proiettori, operatore aggiunto; convergenze per serie di operatori. Serie di Fourier per funzioni periodiche. Serie trigonometriche. Integrale di Fourier; proprietà elementari , lemma di Riemann-Lebesgue. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwarz delle funzioni test a decrescenza rapida. La base di Hermite e le sue proprietà basilari. La trasformata di Fourier-Plancherel. Distribuzioni temperate come limite debole di funzioni di quadrato sommabile. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac. Derivate distribuzionali. La distribuzione Parte Principale P1/x. Potenziale di una carica puntiforme. Altre operazioni: cambiamento di variabile, prodotto, prodotto tensoriale. Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate; regole di calcolo; esempi espliciti. Convoluzione di distribuzioni. Soluzioni fondamentali di un operatore differenziale lineare. Soluzioni fondamentali, e il problema di Cauchy; funzioni di Green. Soluzioni fondamentali per la equazione di diffusione, l’equazione di Schroedinger per la particella libera, e l’equazione delle onde.

Lezioni frontali ed esercitazioni

Prova finale scritta + prova orale

Note frornite dal docente

ricevimenti lunedì dopo le 14

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A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE