Università degli studi dell'Insubria

ADVANCED GEOMETRY B

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento opzionale

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2017/2018)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Fornire allo studente una introduzione al mod- erno linguaggio della geometria algebrica, attraverso una trattazione dei risultati di base della teoria classica delle superfici di Riemann. In tale teoria confluiscono infatti concetti e risultati provenienti dalla topologia algebrica, dalla geometria differenziale, dall’ analisi complessa, dall’algebra commutativa, dalla geometria al- gebrica delle variet`a o degli schemi proiettivi o astratti.

Prerequisiti: 

Corsi di base (primo biennio triennale) in analisi, topologia e geometria

Superfici di Riemann (SdR), definizioni di base: carte complesse e strutture complesse. Primi esempi. Richiami sulla classificazione delle superfici compatte. Genere di una SdR compatta.
Spazi proiettivi complessi.
Curve algebriche piane affini e proiettive. SdR associata.
Funzioni olomorfe e meromorfe su una SdR.
Mappe olomorfe tra SdR. Molteplicità in un punto.
La somma degli ordini di una funzione meromorfa è nulla.
Mappe tra SdR compatte. Grado.
Caratteristica di Eulero e triangolazioni. Teorema di Hurwitz (dimostrazione topologica).
Automorfismi e azioni di gruppo su una SdR. Monodromia.
Superfici iperellittiche.
Integrazione su SdR: Forme differenziali. Operazioni sulle forme. Lemma di Poincarè e Dolbeaux. Teorema di Stokes. Teorema dei residui.
Divisori e funzioni meromorfe.
Accenno a fibrati vettoriali complessi su una SdR e alla corrispondenza tra divisori e fibrati di rango 1.
Equivalenza lineare di divisori, spazi di forme e di funzioni associati a un divisore. Divisori e mappe nello spazio proiettivo. Divisori molto ampi. Curve algebriche.
Teorema di Riemann Roch, dimostrazione
Applicazioni di Riemann Roch: una SdR è una curva algebrica. Ogni curva algebrica è proiettiva. Teorema di Clifford. Mappa canonica, curve iperellittiche. Forma geometrica di Riemann-Roch. Conto dei parametri di Riemann.
Grado di curve proiettive. Monodromia dei divisori iperpiani. Lemma di posizione uniforme, e Lemma di posizione generale. Bound di Castelnuovo. Curve di genere massino. Punti di inflessione e punti di Weierstrass.
Omologia, periodi e Jacobiana.
La mappa di Abel-Jacobi. Dimostrazione del Teorema di Abel.

Fasci su curve. Introduzione alla coomologia di Cech. Gruppo di Picard dei fasci invertibili e corrispondenza tra divisori e fasci invertibili.

Lezioni frontali. Svolgimento di esercizi in classe ed a casa da parte degli studenti. Seminari tenuti dagli studenti

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L'esame sarà orale; una parte sarà lo svolgimento di uno o più degli esercizi da una lista data durante il corso.

R. Miranda, Algebraic Curves and Complex Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5, 1991.
Saranno inoltre disponibili le note manoscritte delle lezioni sulla piattaforma e-learning.

Potranno essere usati altri testi o articoli che verranno forniti dal docente durante il corso

clicca sulla scheda dell'attività mutataria per vedere ulteriori informazioni, quali il docente e testi descrittivi.

corso di studio in: MATEMATICA

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE