Università degli studi dell'Insubria

NUMERICAL SOLUTIONS OF PDE'S A

A.A. di erogazione 2017/2018

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2017/2018)
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ANALISI NUMERICA (MAT/08)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
80
Dettaglio ore: 
Lezione (80 ore)

Il corso di Soluzione Numerica di PDE A è dedicato ai problemi ellittici e parabolici. Le equazioni ellittiche sorgono soprattutto nella modellizzazione di fenomeni stazionari, come le equazioni per il potenziale elettrostatico o gravitazionale, quando le sorgenti del campo sono ferme. Un'altra sorgente di equazioni ellittiche sono i problemi di elasticità nello studio della deformazione di strutture. La diffusione del calore è invece un tipico problema parabolico. Nel corso si considereranno anche problemi di convezione-diffusione, come le equazioni di Navier Stokes per un fluido viscoso.

I metodi numerici più usati per questo tipo di modelli sono i metodi agli elementi finiti. Nel corso, si studieranno i metodi agli elementi finiti per equazioni ellittiche, e si considereranno sia gli aspetti teorici che quelli implementativi. Lo scopo del corso e’ di fornire strumenti teorici e pratici per applicare e sviluppare programmi in cui si usino gli elementi finiti.



Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di risolvere numericamente delle PDE ellittiche su domini semplici. Soprattutto, dovrebbero essere in grado di utilizzare in modo critico e consapevole anche software scritto da altri.

Prerequisiti: 

Il corso è rivolto agli studenti di Matematica, ma anche a studenti di altri corsi di laurea, con interessi nel calcolo scientifico. Sono richieste nozioni di base di Analisi I e II e nozioni sulla soluzione numerica di sistemi lineari algebrici. Sono utili, ma non strettamente necessarie, nozioni sugli Spazi di Sobolev, e sarebbe anche utile saper scrivere dei semplici programmi. Come linguaggio di programmazione useremo Matlab, ma ogni studente è libero di utilizzare altri linguaggi, come C, C++ o Fortran.

1. Introduzione agli elementi finiti: il problema del filo elastico come problema modello. Formulazione astratta del metodo di Galerkin e lemma di Lax-Milgram, stime di convergenza, condizioni al bordo. Metodi P1 e P2. Estensione al caso bidimensionale. Spazi FEM.



2. Applicazione a diversi problemi ellittici: convezione-diffusione, la trave elastica e la membrana elastica. Il problema di Stokes. Perdita di coercività e la condizione Inf-Sup. Viscosità artificiale e metodo SUPG.



3. Problemi parabolici. Convezione-diffusione del calore in 1D. Semidiscretizzazione nello spazio. Discretizzazione nello spazio e nel tempo. Condizioni al contorno



4. Il metodo Discontinuous Galerkin. Tecniche di stabilizzazione.

Le lezioni sono frontali, con esercitazioni al laboratorio informatico. Nelle lezioni, si affronta la descrizione dei metodi che via via introdurremo, e la teoria che ne sta alla base. Nelle esercitazioni in laboratorio, applicheremo i metodi studiati ad alcuni casi test, sfruttando programmi appositamente scritti per il corso, per capire per esperienza diretta le caratteristiche dei metodi agli elementi finiti e le loro proprietà.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L’esame è orale, ed è composto di due parti, che possono anche essere sostenute nello stesso giorno.
In una prima parte, lo studente presenta una breve relazione, che può anche essere svolta da gruppi di 2 o 3 persone, su un progetto relativo ad un argomento affrontato durante il corso. Di solito il progetto è computazionale, e lo studente deve dimostrare un certo livello di autonomia. 
La seconda parte dell'esame invece è un esame orale sugli argomenti svolti durante il corso.

Consiglio due libri di testo. Il primo, “Numerical solution of partial differential equations by the finite element method”, di Claes Johnson, Dover, è un testo introduttivo, molto chiaro, ma non molto approfondito.

Il secondo testo è “Theory and Practice of Finite Element Methods” di Ern e Guermond, Springer, 2010. E’ decisamente più approfondito, aggiornato ed esauriente, ma è anche più difficile.



Inoltre, saranno disponibili slides e appunti per le esercitazioni al laboratorio.

Il ricevimento è su appuntamento, e può essere fissato sia per email che alla fine delle lezioni

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE