Università degli studi dell'Insubria

METODI MATEMATICI DELLA FISICA I

A.A. di erogazione 2017/2018

Laurea Magistrale in MATEMATICA (A.A. 2017/2018)
Docenti
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Affine/Integrativa
Settore disciplinare: 
FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI (FIS/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

MODULO I:
L'obbiettivo centrale del corso e' la introduzione alla analisi complessa; piu' precisamente, alla teoria delle funzioni di una variabile complessa. Si tratta di un argomento fondamentale, supplemento naturale dei corsi base di Analisi matematica, e in varia misura rilevante per i matematici di qualunque orientamento, nonche' per i fisici, sia teorici, sia applicati. Il corso intende guidare lo studente a riconoscere che tutte le funzioni basilari del Calcolo, in origine introdotte come funzioni di variabile reale, sono in realta' piu' naturalmente definite come funzioni di variabile complessa, e che cio' rivela loro struttura in modo piu' profondo di quanto si possa immaginare rimanendo nel campo reale. Allo stesso tempo lo studente verra' addestrato a maneggiare strumenti di calcolo basati sulla analisi complessa, che sono di frequente impiego nella matematica applicata e nella fisica. Verra' introdotto ad alcune tecniche di vasta applicazione quali la integrazione di cammino, e l'uso delle serie di potenze nella risoluzione di equazioni differenziali ordinarie.

MODULO II
Il corso consiste in una introduzione agli elementi di Analisi Funzionale sui quali è fondato il formalismo matematico della Meccanica Quantistica. Verrà dunque esposta una teoria elementare degli spazi di Hilbert, ed una introduzione “efficace” alla teoria delle distribuzioni temperate.
Ci si attende che gli studenti di questo corso acquisiscano una certa dimestichezza operativa con gli strumenti matematici comunemente utilizzati nella Meccanica quantistica, ed una comprensione della teoria matematica sottostante sufficiente a garantirne un uso critico, che vada oltre alla pura e semplice manipolazione formale.

Prerequisiti: 

MODULO I:
I concetti di base della teoria degli spazi metrici; i concetti fondamentali del Calcolo per le funzioni di una variabile reale, e le nozioni di base riguardo le derivate parziali.

MODULO II:
Elementi di base della algebra lineare, e della teoria degli spazi vettoriali di dimensione finita.

MODULO I:
Rassegna delle nozioni basilari sui numeri complessi. Definizione delle funzioni trascendenti elementari di una variabile complessa. Funzioni Olomorfe: condizioni di Cauchy-Riemann, e rappresentazoni conformi. Regole di derivazione. Funzioni inverse, radici, e logaritmi. Il piano complesso esteso, e la sfera di Riemann. Nozione di cammino in uno spazio metrico. Cammini regolari nel piano complesso. L'integrale di cammino per funzioni di n variabili reali, e per funzioni di una variabile complessa. Campi conservativi. Funzioni olomorfe, come campi vettoriali. Il teorema di Cauchy; Integrali del tipo di Cauchy, e formula integrale di Cauchy. Funzioni armoniche. Principio del massimo modulo. Teorema di Liouville. Serie di potenze; funzioni analitiche . Serie notevoli. Singolarita' isolate; sviluppo di Laurent, classificazione delle singolarita'isolate. Teorema dei residui, e sue applicazioni. Teorema fondamentale sul Prolungamento Analitico; prolungamento analitico lungo un cammino; monodromia, e polidromia; funzioni analitiche complete, e superficie di Riemann. Integrali di funzioni polidrome. La funzione Gamma. Equazioni differenziali ordinarie, lineari, del 2 ordine. Teorema di esistenza e unicita' locale; prolungamento analitico delle soluzioni; struttura dello spazio delle soluzioni. Punti singolari. Equazione di Eulero. Soluzioni fondamentali. Singolarita' regolari, e comportamento delle soluzioni nel loro intorno. Equazione e funzioni di Bessel. Equazioni della classe di Fuchs; equazione di Gauss; funzione Ipergeometrica; equazione ipergeometrica confluente.

MODULO II:
Nozione generale di spazio funzionale. Spazi vettoriali topologici. Spazi normati e spazi prehilbertiani, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, identità del parallelogrammo, identità di polarizzazione. Spazi di Banach e di Hilbert. Spazi di successioni. Introduzione sintetica alla teoria astratta della misura e della integrazione. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenza in media quadratica. Spazi di funzioni di quadrato sommabile. Sottospazi di uno spazio di Hilbert; teorema delle proiezioni. Decomposizione ortogonale. Sistemi ortonormali e basi Hilbertiane. Serie di Fourier generalizzate. Spazi separabili. Isomorfismo Hilbertiano; operatori lineari e continui. Rappresentazione dei funzionali lineari e continui. Algebra degli operatori continui: operatori unitari, proiettori, operatore aggiunto; convergenze per serie di operatori. Serie di Fourier per funzioni periodiche; rapidità della loro convergenza. Serie trigonometriche. Integrale di Fourier; proprietà elementari , lemma di Riemann-Lebesgue. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwarz delle funzioni test a decrescenza rapida. La base di Hermite e le sue proprietà basilari. La trasformata di Fourier-Plancherel. Distribuzioni temperate come limite debole di funzioni di quadrato sommabile. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac. Derivate distribuzionali. La distribuzione Parte Principale P1/x. Potenziale di una carica puntiforme. Altre operazioni: cambiamento di variabile, prodotto, prodotto tensoriale. Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate; regole di calcolo; esempi espliciti. Convoluzione di distribuzioni. Trasformata di Hilbert. Soluzioni fondamentali di un operatore differenziale lineare. Soluzioni fondamentali, e il problema di Cauchy; funzioni di Green. Soluzioni fondamentali per la equazione di diffusione, l’equazione di Schroedinger per la particella libera, e l’equazione delle onde.

MODULO I:
Il corso, tenuto dal professor I. Guarneri, consiste di circa 50 ore di lezione frontale, e di circa 14 ore di esercitazione. In queste ultime si svilupperanno argomenti complementari, e si svolgeranno esercizi e problemi.

MODULO II:
Il corso, tenuto dal professor S.L. Cacciatori, consiste di circa 50 ore di lezione frontale, e di circa 14 ore di esercitazione. In queste ultime si svilupperanno argomenti complementari, e si svolgeranno esercizi e problemi. La frequenza del corso èfortemente consigliata.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

MODULO I:
L'unica verifica e' l'esame finale, che si svolge per iscritto, e consiste nella risoluzione di 4/5 problemi, in un tempo di 3/4 ore.

MODULO II:
La verifica finale consisterà in una prova scritta, consistente nella soluzione di 4/5 problemi in un tempo di 3/4 ore, seguita da una breve colloquio orale.

MODULO I:
Appunti completi del Corso redatti in LaTex a cura del docente sono disponibili in rete. Testo suggerito per approfondimento :
John B. Conway, Functions of One Complex Variable

MODULO II:
Appunti completi del Corso redatti in LaTex a cura del prof. Guarneri si trova in rete. Testo suggerito per approfondimento:
Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski, Hilbert Spaces with Applications.

Orario di ricevimento: su accordo con i docenti.

Mutuato da

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A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2011/2012

Anno di corso: 1
Curriculum:
Anno di corso: 1
Curriculum:
Anno di corso: 2
Curriculum: