Università degli studi dell'Insubria

ALGEBRA 2

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA (A.A. 2017/2018)
Docenti
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Conoscenza dei principali risultati nell'ambito della teoria degli anelli e della teoria dei moduli. Applicazioni allo studio delle forme canoniche di matrici e alla classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.

Al termine del corso lo studente sarà in grado di verificare proprietà di strutture algebriche con più di un'operazione, di applicare i teoremi di Sylow per ottenere informazioni strutturali su gruppi finiti, di riconoscere gruppi abeliani finitamente generati e di determinare le varie forme canoniche di una matrice quadrata.

Prerequisiti: 

Contenuti del corso di algebra 1: teoria degli insiemi, teoria dei gruppi.

Complementi di teoria dei gruppi 12 ore
Sottogruppi di p-gruppi finiti. Teoremi di Sylow. Prodotto semidiretto di gruppi.

Anelli 30 ore
Definizione di anello. Zero-divisori. Elementi invertibili. Anelli interi, domini di integrità, corpi, campi. Quaternioni.
Sottoanelli, omomorfismi di anelli. Campo dei quozienti di un dominio.
Teoremi di isomorfismo per anelli. Ideali e anelli quoziente.
Caratteristica di un anello. Campo minimo.
Anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Anello delle serie di potenze formali.
Proprietà universale dell'anello dei polinomi. Polinomi in più variabili.
Divisibilità in domini di integrità. Elementi associati.
Elementi irriducibili e primi. Domini a fattorizzazione unica e loro caratterizzazione.
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
Domini euclidei. Algoritmo di Euclide. Divisione di polinomi. Zeri di polinomi.
Fattorizzazione di polinomi. Lemma di Gauss. Teorema: l'anello dei polinomi a coefficienti in un UFD è un UFD.
Estensioni di campi. Elementi algebrici. Polinomio minimo.
Elementi algebrici e trascendenti. Radice n-esime dell'unità.
Campi finiti.

Moduli 22 ore
Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli sinistri e destri su un anello. Anello opposto. Ideali destri e sinistri. Sottomoduli. Omomorfismi di moduli. Prodotto diretto di moduli. Moduli indipendenti. Elementi linearmente indipendenti. Sottomodulo generato da elementi di un modulo. Moduli liberi su un anello. Basi. Annullatori di elementi e moduli. Condizioni per la ciclicità di un modulo.
Domini a ideali principali (PID). Teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su un PID. Gruppi abeliani finitamente generati. Forma canonica di Jordan. Polinomio minimo di una matrice.

Lezioni frontali: 64 ore

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Nello scritto è richiesta la capacità di verificare proprietà delle strutture algebriche, di determinare le forme canoniche di matrici quadrate e di giustificare tutte le affermazioni fatte. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.

il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipende dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.

P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.

Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito del corso.

Per maggiori dettagli consultare il sito del corso.

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A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2016/2017

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2012/2013

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2011/2012

Anno di corso: 2
Curriculum:

A.A. 2010/2011

Anno di corso: 2
Curriculum: