ANALISI MATEMATICA B

Il campo dei numeri complessi: piano di Gauss, operazioni nel campo complesso, forma algebrica e trigonometrica, formula di De Moivre*. Teorema sulle radici n-esime*, Teorema fondamentale dell’Algebra, sottoinsiemi nel piano di Gauss.
Spazi vettoriali, basi e dimensione; Spazi vettoriali dotati di prodotto scalare, disuguaglianza triangolare* e di Cauchy-Schwartz*, basi ortonormali e procedimento di Gram-Schmidt, teorema delle proiezioni*; Linearità: approssimazione e principio di sovrapposizione; Lo spazio vettoriale delle matrici Mat(m,n), prodotto righe per colonne, matrice trasposta, diagonale, triangolare, simmetrica, matrice di rotazione nel piano; Teorema di rappresentazione* di applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita, composizione di applicazioni*; Determinante, teorema di Laplace, proprietà*. Teorema di Binet. Rango di una matrice, nucleo ed immagine di applicazioni lineari, teorema della nullità più rango*. Matrice inversa e applicazioni a sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Autovalori e autovettori, diagonalizzazione di matrici*.
Funzioni reali di più variabili reali, curve di livello, limiti e continuità, proprietà. Derivate direzionali, approssimazione lineare e piano tangente, funzioni differenziabili, formula del gradiente*. Ottimizzazione libera, metodo delle restrizioni, studio dell'incremento. Teorema di Fermat*, derivate successive, teorema di Schwarz, teorema di derivazione della funzione composta. Formula di Taylor*. Metodo della matrice Hessiana*. Estremi vincolati: metodo dei moltiplicatori di Lagrange*. Superfici parametriche, campi vettoriali e matrice Jacobiana, trasformazioni di coordinate nel piano e nello spazio. Integrali di linea e lavoro di campi vettoriali, campi conservativi e localmente conservativi*. Gli operatori Divergenza e Rotore, identità differenziali.
Integrali multipli, somme di Riemann ed integrabilità delle funzioni continue, domini semplici ed integrali iterati. Proprietà dell'integrale multiplo di Riemann, cambiamento di variabili in integrali doppi e tripli, coordinate polari, sferiche, ellittiche. Integrali di superficie, teorema della Divergenza e teorema di Stokes.