Università degli studi dell'Insubria

ALGEBRA SUPERIORE A

A.A. di erogazione 2017/2018

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2016/2017)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
80
Dettaglio ore: 
Lezione (80 ore)

Il corso si propone di fornire un’ampia introduzione alla teoria delle categorie, campo di grande rilevanza per molti settori della matematica odierna, tra cui in particolar modo l’algebra omologica, la geometria algebrica e la topologia algebrica. Al termine del corso ci si attende che lo studente abbia acquisito una solida preparazione teorica in questo settore e, attraverso le esercitazioni, la capacità di utilizzare con profitto l’intuizione categoriale in una grande varietà di situazioni matematiche.

Laurea triennale in Matematica o maturità matematica equivalente.

CATEGORIE, FUNTORI E TRASFORMAZIONI NATURALI.

Nozione di categoria. Categorie astratte e concrete. Monoidi, gruppoidi, insiemi preordinati. Il principio di dualità. Funtori covarianti e contravarianti. Funtori dimenticanti. Trasformazioni naturali e isomorfismi. L’esempio del doppio duale di un k-spazio vettoriale. Equivalenze categoriali e dualità; il caso delle dualità di tipo Stone. Funtori pieni, fedeli, essenzialmente suriettivi e loro rapporto con la nozione di equivalenza categoriale. Preservazione delle proprietà categoriali per equivalenza. Costruzioni su categorie: categorie prodotto, categorie di funtori, categorie slice. Monomorfismi ed epimorfismi.

RAPPRESENTABILITA'

Funtori hom. Lemma di Yoneda; naturalità della biezione ed esempi. L’embedding di Yoneda. Funtori rappresentabili: definizione, proprietà ed esempi.

PROPRIETA' UNIVERSALI, LIMITI E COLIMITI

Diagrammi, coni e coconi. Concetto di proprietà universale ed esempi: gruppo libero su un insieme, prodotto tensoriale, prodotto cartesiano, etc. Definizione astratta di limite e colimite. Prodotti, coprodotti, oggetti terminali e iniziali, egualizzatori, coegualizzatori, pullback e pushout, limite diretto ed inverso. Costruzione di limiti arbitrari a partire da prodotti e egualizzatori e di limiti finiti a partire da pullback e oggetto terminale. Preservazione, riflessione o creazione di (co)limiti da parte di un funtore.

AGGIUNZIONI

Concetto di coppia di funtori aggiunti ed esempi. Unicità degli aggiunti a meno di isomorfismo. Caratterizzazioni delle aggiunzioni attraverso proprietà universale e identità triangolari. Ogni equivalenza è un’aggiunzione. Riflessioni. Preservazione di limiti (risp. colimiti) da parte degli aggiunti destri (risp. sinistri). Teoremi del funtore aggiunto.

MONADI

Monadi, comonadi ed esempi. Monadi indotte da un’aggiunzione. Algebre per una monade. Categorie di Eilenberg-Moore e di Kleisli associate ad una monade e proprietà universali delle aggiunzioni da esse indotte. Teoremi di monadicità ed esempi di funtori monadici e non.

ELEMENTI DI ALGEBRA OMOLOGICA

Categorie regolari e Barr-esatte. Relazioni d'equivalenza interne e quozienti. Immagine di un morfismo. Epimorfismi regolari e loro proprietà di ortogonalità. Categorie puntate, semi-additive e additive e loro proprietà. Biprodotti. Nuclei e conuclei. Monomorfismi ed epimorfismi regolari e normali. Categorie abeliane, loro proprietà e caratterizzazione come categorie additive e Barr-esatte. Complessi e sequenze esatte. Il lemma dei cinque e il lemma del serpente. Gruppi di omologia di un complesso e sequenza esatta lunga di Mayer-Vietoris. Omotopie tra morfismi di complessi e invarianza dell’omologia rispetto ad essi. Risoluzioni proiettive ed iniettive e funtori derivati.

ELEMENTI DI TEORIA DEI TOPOI

Fasci su uno spazio topologico. Equivalenza con le mappe étale. Siti e fasci su di essi. Definizione di topos di Grothendieck ed esempi. Struttura interna di un topos (limiti, colimiti, esponenziali, classificatore di sottoggetti), categoria degli oggetti abeliani interni e sue proprietà. Coomologia.

Le lezioni frontali e teoriche, svolte alla lavagna, saranno accompagnate da sessioni di esercizi assegnati dal docente nelle precedenti lezioni, in cui gli studenti che lo desiderano potranno esporre alla lavagna le loro soluzioni e discuterle con il docente di fronte agli altri studenti. La partecipazione attiva a queste sessioni di esercitazioni verrà valorizzata in sede di esame (contribuendo per un terzo al voto finale).

L’esame si svolgerà nella forma di un seminario su un tema concordato con il docente che estende gli argomenti del corso. La valutazione di questo seminario costituirà i due terzi del voto finale, mentre il restante terzo sarà determinato dalla risoluzione degli esercizi assegnati dal docente nel corso nelle lezioni e discussi nelle sessioni di esercitazione.

S. Awodey, "Category theory", Oxford University Press, seconda edizione, 2010

F. Borceux, "Handbook of categorical algebra", Cambridge University Press, 1994

P.T. Johnstone, "Category theory", corso del "Part III of the Mathematical Tripos", note disponibili all'indirizzo https://www.math.cornell.edu/~dmehrle/notes/partiii/cattheory_partiii_no...

T. Leinster, "Basic Category Theory", Cambridge University Press, 2014

S. Mac Lane, "Categories for the working mathematician", Springer, seconda edizione, 1997

S. Mac Lane, I. Moerdijk, "Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory", ristampa con correzioni dell'edizione del 1992, Universitext, Springer-Verlag, New York, 1994

E. Riehl, "Category theory in context", Cambridge University Press, 2016

Gli studenti del corso potranno raggiungere la docente nel suo ufficio nell’ora direttamente successiva alla fine di ogni lezione per chiedere ulteriori spiegazioni, chiarimenti o approfondimenti.

clicca sulla scheda dell'attività mutataria per vedere ulteriori informazioni, quali il docente e testi descrittivi.

corso di studio in: MATEMATICA

Cerchi il programma? Potrebbe non essere ancora stato caricato o riferirsi ad insegnamenti che verranno erogati in futuro.
Seleziona l‘anno in cui ti sei immatricolato e troverai le informazioni relative all'insegnamento del tuo piano di studio.

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE