Università degli studi dell'Insubria

ADVANCED GEOMETRY A

A.A. di erogazione 2017/2018

Laurea Magistrale in MATEMATICA
 (A.A. 2016/2017)
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
80
Dettaglio ore: 
Lezione (80 ore)

Lo scopo dell’insegnamento è molteplice e comprende:

1) l’acquisizione delle nozioni, dei teoremi e delle tecniche basilari della Geometria Riemanniana classica, partendo dal problema dell’esistenza di metriche Riemanniane su una generica varietà differenziale per arrivare ai Teoremi di Bonnet-Myers e Cartan-Hadamard sul legame tra curvatura e topologia della varietà soggiacente.

2) l’acquisizione delle capacità di verifica, su esempi concreti, delle proprietà geometriche di base delle varietà Riemanniane. Vista la natura molto astratta degli argomenti trattati, gli studenti saranno guidati allo costruzione e allo studio di esempi concreti sia in classe, durante le lezioni frontali, sia a casa attraverso esercizi.

3) l’acquisizione della capacità di rielaborazione degli argomenti e delle dimostrazioni esposte a lezione, al fine di procedere in modo autonomo allo studio di aspetti e tematiche più avanzate e recenti, completando i dettagli delle varie argomentazioni presenti.

Al termine del corso ci si attende che gli studenti abbiano acquisito:

1) le nozioni e i risultati basilari della Geometria Riemanniana classica.

2) le abilità di verifica, su esempi concreti, delle principali proprietà geometriche delle varietà Riemanniane.

3) la capacità di rielaborare quanto visto a lezione e di procedere in modo autonomo allo studio di aspetti avanzati della teoria completando i dettagli delle varie argomentazioni presenti.

Prerequisiti: 

È richiesto che gli studenti abbiano già acquisito i concetti di base sulla teoria delle varietà differenziali astratte e che abbiano una conoscenza approfondita della topologia degli insiemi di punti e del gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Infine, è altamente consigliato che gli studenti abbiano fatto esperienza del concetto di curvatura di una superficie regolare dello spazio Euclideo 3-dimensionale e del suo significato geometrico.

Partendo dal problema dell’esistenza di una metrica Riemanniana su una generica varietà differenziale, si passerà alla nozione di derivazione di Levi-Civita, e di corrispondente trasporto parallelo, che consentirà di definire il concetto di curva geodetica come curva ad accelerazione nulla. La struttura metrica intrinseca della varietà Riemanniana, in relazione sia all’esistenza in grande delle geodetiche che alla loro proprietà di minimizzazione, verrà analizzata in dettaglio. Lo studio del tensore di curvatura di Riemann e delle sue tracce precederà la parte culminante del corso, dedicata al legame che sussiste tra il segno della curvatura e la topologia di una varietà Riemanniana completa. I principali contenuti del corso posso essere riassunti nel seguente elenco:

1) Fibrati tensoriali e campi tensoriale
2) Definizione ed esistenza delle metriche Riemanniane
3) Connessione di Levi-Civita e trasporto parallelo
4) Geodetiche e mappa esponenziale
5) La struttura metrica di una varietà Riemanniana
6) Teoria globale delle geodetiche e completezza
7) Le curvature di una varietà Riemanniana
8) Variazione prima e seconda del funzionale energia
9) Campi di Jacobi e punti coniugati
10) Curvatura e topologia: i teoremi di Bonnet-Myers e di Cartan-Hadamard

In vista degli obiettivi formativi del corso, il metodo didattico consisterà in lezioni frontali, affiancate da esercizi da svolgere a casa, e dallo studio individuale di un argomento avanzato e non esposto a lezione.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

La verifica dell’apprendimento consisterà di due parti:

1) Un esame orale tradizionale, durante il quale lo studente dovrà mostrare di aver acquisito le nozioni di base, le dimostrazioni dei principali teoremi, e la capacità di analisi di alcuni esempi concreti.

2) Un seminario da tenere di fronte alla classe, mostrando di aver acquisito la capacità di comprendere individualmente un argomento avanzato, completando tutti i dettagli delle argomentazioni presenti.

Testi di base:

M. P. do Carmo, Riemannian geometry. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.

J. M. Lee, Riemannian manifolds. An introduction to curvature. Graduate Texts in Mathematics 176. Spinger, New York, 1997.

Testi per approfondimenti:

S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004.

P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, 2006.

Il ricevimento studenti è attivo ogni lunedì dalle ore 14 alle ore 16 ma può essere concordato in un giorno diverso previo appuntamento.

clicca sulla scheda dell'attività mutataria per vedere ulteriori informazioni, quali il docente e testi descrittivi.

corso di studio in: MATEMATICA

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE