Università degli studi dell'Insubria

NUMERICAL SOLUTIONS OF PDE'S B

A.A. di erogazione 2016/2017

Laurea Magistrale in MATEMATICA (A.A. 2016/2017)
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
ANALISI NUMERICA (MAT/08)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
80
Dettaglio ore: 
Lezione (80 ore)

Il corso di Metodi numerici per PDE-B, è dedicato all'integrazione numerica di sistemi iperbolici di equazioni differenziali. Questo tipo di equazioni si incontra tutte le volte che si affrontano modelli in cui un segnale si propaga con velocità finita. L'applicazione più classica è alle equazioni della gas dinamica, ma i modelli per il flusso di traffico, modelli per l'evoluzione delle stelle in astrofisica, il movimento dell'acqua a frontiera libera, la fisica dei plasmi sono tutti di natura iperbolica.



Di solito, le equazioni iperboliche non rientrano nei programmi classici dei corsi di analisi, e dunque, in questo corso, è previsto lo studio sia della struttura di queste equazioni e delle loro soluzioni, sia il loro trattamento numerico. Lo studio analitico delle equazioni sarà dedicato alla costruzione qualitativa delle soluzioni, più che alla loro analisi.
I metodi numerici che saranno illustrati nel corso sono gli schemi ai volumi finiti, che sono i metodi standard per questo tipo di applicazioni.



Nel corso, si studieranno le equazioni iperboliche e alcuni metodi numerici sviluppati per approssimarle. Si affiancheranno lezioni teoriche a sessioni di laboratorio, nelle quali si osserveranno sia il comportamento delle equazioni che quello dei metodi approssimanti.



Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di risolvere numericamente delle PDE iperboliche. su domini semplici. Soprattutto, dovrebbero essere in grado di utilizzare in modo critico e consapevole anche software scritto da altri.

Prerequisiti: 

Il corso è rivolto agli studenti di Matematica e Fisica, ma anche a studenti di altri corsi di laurea, con interessi nel calcolo scientifico. Le nozioni base di analisi sono: sviluppi di Taylor, norme di vettore e di funzione. Dal corso di analisi numerica utilizzeremo soprattutto algoritmi di approssimazione polinomiale e l'integrazione di equazioni alle derivate ordinarie, ma questi argomenti saranno richiamati.



Come linguaggio di programmazione useremo Matlab, ma ogni studente è libero di utilizzare altri linguaggi, come C, C++ o Fortran.

  1. Leggi di conservazione scalari. Caratteristiche, formazione di onde d’urto e condizione dell’entropia. Soluzioni deboli.
  2. Modelli di traffico.
  3. Metodi numerici per equazioni scalari. Il caso lineare: teorema di equivalenza di Lax. Il caso non lineare: metodi conservativi e teorema di Lax Wendroff. Soluzione di problemi di Riemann e il metodo di Godunov.
  4. Sistemi iperbolici. Soluzione del problema di Riemann nel caso lineare. Il caso non lineare: onde di rarefazione e onde d’urto. Un esempio: il modello shallow water e la risoluzione del problema di Riemann.
  5. Leggi di bilancio e metodi ben bilanciati.

Le lezioni sono frontali, con esercitazioni al laboratorio informatico. Nelle lezioni, si affronta la descrizione dei metodi che via via introdurremo, e la teoria che ne sta alla base. Nelle esercitazioni in laboratorio, applicheremo i metodi studiati ad alcuni casi test, sfruttando programmi appositamente scritti per il corso, per capire per esperienza diretta le caratteristiche delle soluzioni dei sistemi iperbolici e dei metodi ai volumi finiti usati per risolverli.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

L’esame è orale, ed è composto di due parti, che possono anche essere sostenute nello stesso giorno.
In una prima parte, lo studente presenta una breve relazione, che può anche essere svolta da gruppi di 2 o 3 persone, su un progetto relativo ad un argomento affrontato durante il corso. Di solito il progetto è computazionale, e lo studente deve dimostrare un certo livello di autonomia. 


La seconda parte dell'esame invece è un esame orale sugli argomenti svolti durante il corso.

  • R. Leveque, “Finite volume methods for hyperbolic problems”, Cambridge.
  • Appunti e presentazioni della docente

Il ricevimento è su appuntamento, e può essere fissato sia per email che alla fine delle lezioni

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE