ALGEBRA LINEARE CON ESERCITAZIONI
Obiettivo del corso è di fornire agli studenti gli strumenti teorici basilari dell'algebra lineare, includendo applicazioni alla geometria. La risoluzione di esercizi sugli argomenti trattati è parte integrante del corso.
Il risultato da raggiungere a fine corso è che lo studente conosca e sappia utilizzare le tecniche di base dell'algebra lineare, avendo anche sviluppato una buona intuizione sul significato geometrico dei concetti appresi.
Vettori geometrici applicati nello spazio.
Spazi vettoriali: definizione di spazio vettoriale, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione di uno spazio vettoriale, sottospazi, somme e somme dirette.
Matrici: lo spazio vettoriale delle matrici, rango di una matrice, moltiplicazione di matrici.
Applicazioni lineari: definizione di applicazione lineare, nucleo e immagine di un'applicazione lineare, dimensione del nucleo e dell'immagine, composizione di applicazioni lineari, applicazione lineare associata ad una matrice, matrice rappresentativa di un'applicazione lineare.
Determinanti: definizione e proprietà dei determinanti, regola di Cramer, permutazioni, determinante della trasposta di una matrice, determinante di un prodotto di matrici, inversa di una matrice, determinante di un'applicazione lineare.
Prodotti scalari: prodotto scalare e norma di vettori, prodotti scalari definiti positivi, disuguaglianza di Schwarz, disuguaglianza triangolare, basi ortogonali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sistemi lineari: metodo di eliminazione di Gauss, metodo di riduzione a scala e sue applicazioni.
Applicazioni bilineari: forme bilineari, forme quadratiche, operatori simmetrici, operatori hermitiani, operatori unitari, teorema di Sylvester.
Autovalori ed autovettori: polinomio caratteristico di una matrice, autovalori ed autovettori, diagonalizzabilità, teorema di Hamilton-Cayley, diagonalizzazione di applicazioni unitarie, autovalori ed autovettori di applicazioni lineari simmetriche, teorema spettrale.
Trasformazioni geometriche del piano: trasformazioni affini e isometrie. Classificazione delle Isometrie nel piano e nello spazio. Curve algebriche piane. Classificazione euclidea delle coniche. Studio geometrico delle coniche.
Serge Lang, "Algebra Lineare" (Boringhieri)
Marco Abate, "Algebra Lineare" (McGraw-Hill)
Edoardo Sernesi, "Geometria 1"(Bollati-Boringhieri)
Dispense rilasciate dal docente
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