ALGEBRA LINEARE CON ESERCITAZIONI

Vettori geometrici applicati nello spazio.

Spazi vettoriali: definizione di spazio vettoriale, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione di uno spazio vettoriale, sottospazi, somme e somme dirette.

Matrici: lo spazio vettoriale delle matrici, rango di una matrice, moltiplicazione di matrici.

Applicazioni lineari: definizione di applicazione lineare, nucleo e immagine di un'applicazione lineare, dimensione del nucleo e dell'immagine, composizione di applicazioni lineari, applicazione lineare associata ad una matrice, matrice rappresentativa di un'applicazione lineare.

Determinanti: definizione e proprietà dei determinanti, regola di Cramer, permutazioni, determinante della trasposta di una matrice, determinante di un prodotto di matrici, inversa di una matrice, determinante di un'applicazione lineare.

Prodotti scalari: prodotto scalare e norma di vettori, prodotti scalari definiti positivi, disuguaglianza di Schwarz, disuguaglianza triangolare, basi ortogonali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sistemi lineari: metodo di eliminazione di Gauss, metodo di riduzione a scala e sue applicazioni.

Applicazioni bilineari: forme bilineari, forme quadratiche, operatori simmetrici, operatori hermitiani, operatori unitari, teorema di Sylvester.

Autovalori ed autovettori: polinomio caratteristico di una matrice, autovalori ed autovettori, diagonalizzabilità, teorema di Hamilton-Cayley, diagonalizzazione di applicazioni unitarie, autovalori ed autovettori di applicazioni lineari simmetriche, teorema spettrale.

Trasformazioni geometriche del piano: trasformazioni affini e isometrie. Classificazione delle Isometrie nel piano e nello spazio. Curve algebriche piane. Classificazione euclidea delle coniche. Studio geometrico delle coniche.