Università degli studi dell'Insubria

FISICA MATEMATICA

A.A. di erogazione 2018/2019
Insegnamento obbligatorio

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2016/2017)
Anno di corso: 
3
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
FISICA MATEMATICA (MAT/07)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base della teoria delle equazioni alle derivate parziali, con applicazioni a tre equazioni fondamentali della fisica matematica: l'equazione delle onde, l'equazione del calore e l'equazione di Poisson. Al termine del corso lo studente sarà in grado di classificare le equazioni alle derivate parziali e sarà familiare con i concetti di soluzione classica e soluzione debole. Lo studente sarà in grado di risolvere l'equazione di Poisson e il problema di Cauchy per l'equazione del calore e delle onde in R^n. Avrà imparato ad utilizzare la serie di Fourier per risolvere l'equazione del calore e delle onde su domini limitati in dimensione uno. Lo studente sarà familiare con i concetti di soluzione fondamentale di un'equazione alle derivate parziali, di funzione di Green e di funzione armonica. Avrà imparato ad utilizzare il principio di Duhamel per ottenere la soluzione di un'equazione non omogenea, conoscerà le nozioni di base e le principali applicazioni della teoria delle distribuzioni e della trasformata di Fourier. Alla fine del corso lo studente sarà in grado di enunciare e dimostrare, in modo matematicamente rigoroso, una serie di teoremi sulle proprietà fondamentali delle soluzioni delle equazioni discusse. Sarà inoltre in grado di affrontare autonomamente semplici problemi nell'ambito della teoria delle equazioni alle derivate parziali, adattando le tecniche acquisite durante il corso.

Prerequisiti: 

Nozioni di base del calcolo differenziale ed integrale di funzioni di una e più variabili e delle equazioni differenziali ordinarie.

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali e loro classificazione. Concetto di soluzione classica e buona posizione. Deduzione dell’equazione delle onde e della diffusione da considerazioni di carattere fisico. Equazione delle onde sulla retta: formula di d'Alembert. Equazione del calore sulla retta: soluzione fondamentale. Equazione delle onde e del calore su un intervallo: principio del massimo per l’equazione del calore, condizioni al bordo, metodo della separazione delle variabili, autofunzioni e autovalori del laplaciano su un intervallo, serie di Fourier. Equazione di Laplace e funzioni armoniche: teorema della divergenza, identità di Green, principio del massimo per le funzioni armoniche, formula di rappresentazione delle funzioni armoniche, funzione di Green. Proprietà variazionali delle soluzioni dei problemi di Dirichlet e Neumann. Equazione delle onde nello spazio: formula di Kirchhoff, metodo della discesa, principio di Huygens. Introduzione alla teoria delle distribuzioni: convoluzione di distribuzioni, trasformata di Fourier di distribuzioni, soluzioni fondamentali per l'equazione di Laplace, del calore e delle onde.

Il corso consiste di 64 ore di lezioni frontali. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: 

Esame orale. L'esame consiste in una discussione sulle equazioni alle derivate parziali presentate durante il corso e sui metodi utilizzati per risolverle. Lo scopo dell'esame è di verificare la conoscenza degli argomenti svolti a lezione, la padronanza delle tecniche risolutive, e la capacità di esporre enunciati e dimostrazioni in modo matematicamente rigoroso.

- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society.
- M. Renardy, R.C. Rogers, An introduction to partial differential equations, Springer.
- R. S. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific Publishing Company, 2003.
- W. Strauss, Partial differential equations: An Introduction, Wiley&Sons.

Ricevimento: per appuntamento (email al docente)

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A.A. 2018/2019

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2012/2013

Anno di corso: 3
Curriculum: PERCORSO COMUNE