Università degli studi dell'Insubria

PROBABILITA' E STATISTICA

A.A. di erogazione 2017/2018

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2016/2017)
L'insegnamento è condiviso, tecnicamente "mutuato" con altri corsi di laurea, consultare il dettaglio nella sezione Mutuazioni
Anno di corso: 
2
Tipologia di insegnamento: 
Caratterizzante
Settore disciplinare: 
PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA (MAT/06)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Secondo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
64
Dettaglio ore: 
Lezione (64 ore)

Obiettivo generale del corso è quello di fornire agli studenti una introduzione formale alla teoria delle probabilità, che è alla base di discipline quali la statistica e lo studio dei processi stocastici. Il secondo obbiettivo formativo è più applicato e fa riferimento alla comprensione del contesto in cui si richiede l’introduzione di concetti probabilistici e di variabili aleatorie e, sulla base di tale comprensione, si richiede di saper utilizzare lo strumento probabilistico più adatto e la variabile aleatoria migliore per descrivere il contesto e il fenomeno di interesse.
In particolare, il corso ha lo scopo di:

1) far comprendere come fenomeni casuali possano essere modellati da un punto di vista matematico tramite i concetti di spazio di probabilità e variabile casuale;

2) definire le principali caratteristiche delle variabili casuali quali funzione di ripartizione, funzione di densità discreta e continua, momenti, funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica rendendo gli studenti familiari con il loro calcolo;

3) introdurre le principali distribuzioni di probabilità sia discrete sia continue;

4) introdurre i più importanti risultati sulla convergenza di variabili casuali, quali la legge dei grandi numeri e il teorema centrale del limite, e far comprendere l’importanza di questi ultimi nella soluzione di problemi teorici e applicati.

Al termine del corso ci si attende che gli studenti:

1) siano in grado di formalizzare problemi di calcolo delle probabilità sia in contesti teorici che applicati;

2) abbiano acquisito le metodologie necessarie per calcolare probabilità, valori attesi, varianza, valori attesi di funzioni di variabili casuali, funzioni generatrici dei momenti e funzioni caratteristiche;

3) conoscano i casi notevoli di variabili casuali discrete e continue e sappiano in quali contesti applicarle;

4) siano in grado di applicare i risultati sulla convergenza di variabili casuali per la soluzione di problemi teorici e pratici.

E' richiesta la conoscenza degli argomenti trattati nel corso di Analisi Matematica 1, in particolare serie, calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile.

• Introduzione storica alla teoria della probabilità e richiami di teoria degli insiemi con riferimento alla teoria della probabilità.

• Definizione di spazio campionario, evento e -algebra; funzione di probabilità e sue proprietà (con dimostrazioni). Esempi.

• Richiami di calcolo combinatorio con riferimento al calcolo della probabilità.

• Definizione di probabilità condizionata; regola del prodotto; teorema delle probabilità totali (con dimostrazione); formula di Bayes (con dimostrazione); eventi indipendenti. Esempi.

• Variabile casuale; funzione di ripartizione e sue proprietà. Esempi.

• Variabili casuali discrete: definizione; funzione di densità discreta e sue proprietà; definizione di valore atteso; valore atteso di una funzione di una variabile casuale discreta (con dimostrazione); proprietà del valore atteso (con dimostrazione); varianza e coefficiente di variazione. Esempi.

• Esempi notevoli di variabili casuali discrete: Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, geometrica e calcolo del loro valore atteso e varianza (con dimostrazione); approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson (con dimostrazione).

• Variabili aleatorie indipendenti; indipendenza di funzioni di variabili o vettori aleatori indipendenti (con dimostrazione). Esempi.

• Distribuzione della somma di variabili casuali discrete (con dimostrazione); somma di variabili binomiali e di Poisson indipendenti (con dimostrazione). Esempi.

• Variabili casuali discrete: monotonia del valore atteso (con dimostrazione); valore atteso del prodotto e varianza della somma di variabili casuali indipendenti (con dimostrazione); momenti; momenti di ordine superiore implicano l’esistenza di momenti di ordine inferiore (con dimostrazione); disuguaglianza di Markov e Chebyshev (con dimostrazione); disuguaglianza di Schwarz (con dimostrazione); covarianza, coefficiente di correlazione e sue proprietà (con dimostrazione).

• Funzione generatrice delle probabilità: definizione e proprietà (con dimostrazione). Funzione generatrice della somma di variabili casuali indipendenti (con dimostrazione) con applicazione alla somma di binomiali e poissoniane (con dimostrazione).

• Variabili casuali continue: definizione; funzione di densità e sue proprietà; valore atteso, varianza e momenti; variabili casuali continue k-dimensionali; funzione di ripartizione e di densità congiunte; indipendenza; funzione di densità condizionata e valore atteso condizionato. Esempi.

• Funzione generatrice dei momenti e sue proprietà.

• Esempi notevoli di variabili casuali continue (uniforme, esponenziale, gamma, chi-quadrato, normale) e loro valore atteso, varianza e funzione generatrice dei momenti (con dimostrazione). Cenno alla distribuzione t di Student.

• Distribuzione di una funzione di una variabile casuale discreta e continua. Per il caso continuo, saranno analizzati i metodi della funzione di ripartizione, della trasformazione monotona (con dimostrazione) e della funzione generatrice dei momenti. Esempi.

• Distribuzione della somma di variabili aleatorie continue (con dimostrazione) ed esempi; somma di variabili casuali discrete e continue tramite funzione generatrice dei momenti (con dimostrazione). Esempi.

• Funzione caratteristica: definizione; esistenza (con dimostrazione); funzione caratteristica di una funzione affine di una variabile casuale (con dimostrazione); continuità; momenti e funzione caratteristica; indipendenza; funzione caratteristica della somma di variabili indipendenti; unicità della funzione caratteristica. Esempi.

• Convergenza: quasi certa, in probabilità e in distribuzione; legge dei grandi numeri; teorema del limite centrale e di De Moivre, correzione di continuità. Esempi.

Lezioni frontali con esercizi svolti in aula.

L’esame finale consiste in una prova scritta, in cui allo studente sarà richiesto di risolvere esercizi ed enunciare e dimostrare uno o più teoremi presentati a lezione.
La parte dell’esame finale che fa riferimento ai teoremi è volta a verificare la comprensione formale della teoria della probabilità.
Gli esercizi richiedono invece da parte dello studente la comprensione del contesto applicativo e, sulla base dello stesso, la decisione di quale variabile aleatoria meglio descrive il contesto. Si richiede inoltre che lo studente comprenda quale strumento probabilistico è più adatto per rispondere a specifiche domande di interesse.

Baldi P. Calcolo delle Probabilità. The McGraw-Hill Companies edizione 2007 o edizione 2011. ISBN: 9788838666957

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 2
Curriculum: PERCORSO COMUNE