Università degli studi dell'Insubria

ALGEBRA 1

A.A. di erogazione 2016/2017

Laurea triennale in MATEMATICA
 (A.A. 2016/2017)

Docenti

CATTANEO ANDREA
Anno di corso: 
1
Tipologia di insegnamento: 
Base
Settore disciplinare: 
ALGEBRA (MAT/02)
Crediti: 
8
Ciclo: 
Primo Semestre
Ore di attivita' frontale: 
48
Dettaglio ore: 
Lezione (48 ore)

Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Conoscenza delle strutture base dell'algebra e delle proprietà astratte delle operazioni.

Prerequisiti: 

Normali conoscenze di matematica della scuola superiore.

Contenuti e programma del corso
Insiemi
Richiami. Corrispondenze. Applicazioni tra insiemi. Composizione di applicazione. Associatività. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Inversa di un'applicazione biiettiva. Relazioni in un insieme. Relazione di equivalenza. Relazione d'ordine parziale e totale.

Numeri Interi.
Proprietà delle operazioni negli interi. Ordinamento negli interi. Principio di induzione. Divisione tra numeri interi. Massimo comun divisore. Identità di Bezout. Caratterizzazione dei primi. Algoritmo Euclideo. Fattorizzazione in primi. Esistenza di infiniti numeri primi. Congruenze modulo un intero. Classi di resto e operazioni. L'anello delle classi di resto. Legge di cancellazione e elementi invertibili modulo n. Congruenze con incognite. Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero.

Gruppi
Operazioni binarie. Monoidi. Gruppi. Monoidi e gruppi commutativi. Classi di resto. Trasformazioni del piano. Gruppo trirettangolo. Gruppo diedrale. Leggi di cancellazione. Tavole moltiplicative. Sottogruppi. Criteri per sottogruppi. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da sottoinsieme. Elementi del sottogruppo generato da un insieme.
Azioni di un gruppo su un insieme. Azione banale. Azioni transitive. Orbite. Coniugio. Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Laterali destri e sinistri. Indice di un sottogruppo. Stabilizzatori e orbite di elementi. Centralizzanti. Centro di gruppi di ordine potenza di p. Classificazione dei gruppi di ordine un quadrato di una potenza di un primo.
Gruppo simmetrico. Cicli nel gruppo simmetrico. Cicli disgiunti. Coniugati nel gruppo simmetrico. Scambi nel gruppo di permutazioni. Parità di una permutazione. Teorema di Cayley. Gruppo alterno. Numero degli elementi di dato ordine in un gruppo ciclico.
Potenze di un elemento in un gruppo e in un monoide. Gruppi ciclici. Ordine di un elemento. Sottogruppi di un gruppo ciclico. Reciproca posizione dei sottogruppi di un gruppo ciclico.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Quoziente sul centro.
Omomorfismi tra monoidi e gruppi. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Teoremi di isomorfismo. Omomorfismi da gruppi ciclici. Endomorfismi di gruppi ciclici. Immagini dirette e inverse di sottogruppi e sottogruppi normali.
Prodotto di sottogruppi. Prodotto di sottogruppi normali. Prodotto diretto interno ed esterno di gruppi. Prodotto diretto di gruppi ciclici.

Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali ed esercitazioni

Testi e materiale didattico

P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.

Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito del corso.

Per maggiori dettagli consultare la pagina.

Modalità di verifica dell’apprendimento
Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio: il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipende dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.

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A.A. 2019/2020

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2018/2019

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2017/2018

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2015/2016

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2014/2015

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE

A.A. 2013/2014

Anno di corso: 1
Curriculum: PERCORSO COMUNE